Phương trình bậc hai một ẩn - Toán lớp 9

1. Phương trình bậc hai

a. Định nghĩa
- Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng $ax^2+bx+c=0 $           (1), trong đó x là ẩn số, a, b, c là những số cho trước và a ≠ 0

b. Ví dụ

$x^2-3x+5=0 $        là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 1; b = -3; c = 5

$2x^2-7x=0 $        là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 2; b = -7; c = 0

$-3x^2+15=0$       là một phương trình bậc hai với các hệ số a = -3; b = 0; c = 15

2. Công thức nghiệm

2.1. Công thức nghiệm

Đối với phương trình $ax^2+bx+c=0$        (a ≠ 0) và biệt thức    $\triangle=b^2-4ac$

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt   $x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt{\triangle}}{2a}$ 

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép   $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình vô nghiệm

2.2. Ví dụ

Giải phương trình

a)  $2x^2+3x-5=0$

b) $x^2-2x+1=0$

c) $x^2-x+1=0$

Giải:

a)  $2x^2+3x-5=0$             (1)

$(a=2;b=3;c=-5)$

Ta có: $\triangle=b^2-4ac=3^2-4.2.(-5)=49>0$

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\left[ \begin{array}{I}x_1=\frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.2}=-\frac{5}{2}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\triangle}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.2}=1\end{array}\right.$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{5}{2};x_2=1$

b) $x^2-2x+1=0$                  (2)

(a=1;b=-2;c=1)

Ta có: $\triangle=b^2-4ac=(-2)^2-4.1.1=0$

Khi đó phương trình (2) có nghiệm kép    $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 1

c) $x^2-x+1=0$                        (3)

$(a=1;b=-1;c=1)$

Ta có: $\triangle=b^2-4ac=(-1)^2-4.1.1=-3<0$

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

2.2. Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình  $ax^2+bx+c=0$         (a ≠ 0); b = 2b'  và biệt thức $\triangle’=b’^2-ac$

- Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,_2=\frac{-b’\pm\sqrt{\triangle’}}{a}$

- Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép      $x_1=x_2=\frac{-b’}{a}$

- Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu a và c trái dấu thì phương trình  $ax^2+bx+c=0$        (a ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ. Giải phương trình 

a) $x^2-4x-5=0$                       (1)

$(a=1;b=-4; b’=-2;c=-5)$

Ta có: $\triangle’=b’^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0$

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\left[ \begin{array}{I}x_1=\frac{-b’-\sqrt{\triangle’}}{a}=\frac{2-\sqrt{9}}{1}=-1\\x_2=\frac{-b’+\sqrt{\triangle’}}{a}=\frac{2+\sqrt{9}}{1}=5\end{array}\right.$

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1;x_2=5$

b) $x^2-4x+4=0$                     (2)

$(a=1;b=-4;b’=-2;c=4)$

Ta có: $\triangle’=b’^2-ac=(-2)^2-4=0$

Khi đó phương trình (2) có nghiệm kép

$x_1=x_2=-\frac{b’}{a}=\frac{2}{1}=2$

Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm x = 2

c) $x^2-4x+2=0$                        (3)

$(a=1;b=-4;b’=-2;c=2)$

Ta có: $\triangle’=b’^2-ac=(-1)^2-2.1=-1<0$

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

3. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu c = 0 thì (1) có dạng   $ax^2+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=0\\x=-\frac{b}{a}\end{array}\right.$
• Nếu b = 0 thì (1) có dạng   $ax^2+c=0\Leftrightarrow x^2=\frac{-c}{a}$                                  

         - Nếu    $\frac{-c}{a}>0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}$                                                                                 

         - Nếu     $\frac{-c}{a}<0$       thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình sau

a) $x^2-4=0$

b) $2x^2-6x=0$

c) $x^2+1=0$

Giải:

a) $x^2-4=0\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\pm2$

Vậy phương trình tập nghiệm $S=\left\{\pm2\right\}$