Liên hệ giữa cung và dây - Toán lớp 9

1. Định lý liên hệ giữa cung và dây

a. Định lý 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Ví dụ: Cho (O; R); A; B; C; D thuộc đường tròn. Nếu $\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB = CD$

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Ví dụ: Cho (O; R); A; B; C; D thuộc đường tròn. Nếu $AB = CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{CD} $

b. Định lý 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Ví dụ: Cho (O; R); A; B; C; D thuộc đường tròn. Nếu $\stackrel\frown{AB} > \stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB > CD$

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Ví dụ: Cho (O; R); A; B; C; D thuộc đường tròn. Nếu $AB > CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB} > \stackrel\frown{CD} $

3. Một số định lý bổ sung

a. Định lý 3

Trong một đường tròn nếu hai dây cung ở vị trí song song chắn giữa hai cung thì hai cung đó bằng nhau.

Ví dụ: Trong đường tròn (O), A; B; C; D thuộc đường tròn. Nếu $AB//CD\Rightarrow\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BD}$

b. Định lý 4

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy và ngược lại, nếu trung điểm của dây căng cung thuộc đường kính thì đường kính đi qua điểm chính giữa của cung

Ví dụ: M là điểm chính giữa cung AB thì OM đi qua trung điểm N của AB và ngược lại

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

Ví dụ. Nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì OM vuông góc tại AB và ngược lại.