Khai phương một tích, một thương - Nhân chia các căn thức bậc hai - Toán lớp 9

1. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

a. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân kết quả với nhau.

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\,(a;b\geq0)$

Ví dụ: Tính $\sqrt{49.1,44.25}$

Giải: $\sqrt{49.1,44.25}=\sqrt{49}.\sqrt{1,44}.\sqrt{25}=7.1,2.5=42$

b. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của một số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

$\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}\,(a;b\geq0)$

Ví dụ: Tính    $ \sqrt{5}.\sqrt{20}$

Giải: $\sqrt{5}.\sqrt{20}=\sqrt{5.20}=\sqrt{100}=10$

c. Tổng quát

Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm, ta có $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$

Đặc biệt: Với biểu thức A không âm, ta có: $(\sqrt{A})^2=\sqrt{A^2}=A;\,\,(\sqrt{A})^3=\sqrt{A^3}$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2a}.\sqrt{18a}$        với $a\geq0$

b) $\sqrt{25a^2b^4}$

Giải:

a)  $\sqrt{2a}.\sqrt{18a}=\sqrt{2a.18a}=\sqrt{36a^2}=\sqrt{(6a)^2}=|6a|=6a$                        vì  $a\geq0$

b) $\sqrt{25a^2b^4}=\sqrt{25}.\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}=5.|a|.\sqrt{(b^2)^2}=5|a|.b^2$

2. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

a. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}\,\,(a\geq0,\,b>0)$        ta có thể khai phương lần lượt từng thừa số a, số b. Sau đó chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\,\,(a\geq0;b>0)$

Ví dụ: $\sqrt{\frac{25}{121}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{121}}=\frac{5}{11}$

b. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của một số không âm cho căn bậc hai của một số dương b, ta có thể chia số a cho số b và khai phương kết quả đó.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}},\,\,(a\geq0;b>0)$

Ví dụ: $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$

c. Tổng quát

Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức 

a) $\sqrt{\frac{16a^2b^4}{25}}$                             b) $\frac{\sqrt{243a^3}}{\sqrt{3a}},\,\,(a>0)$

Giải:

a)  $\sqrt{\frac{16a^2b^4}{25}}=\frac{\sqrt{16a^2b^4}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{16}.\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}{\sqrt{25}}=\frac{4.|a|.b^2}{5}=\frac{4}{5}|a|.b^2$ 

b)  $\frac{\sqrt{243a^3}}{\sqrt{3a}}=\sqrt{\frac{243a^3}{3a}}=\sqrt{81.a^2}=\sqrt{81}.\sqrt{a^2}=9.|a|=9a$                        vì $a>0$