Toán lớp 9
Hệ thức Vi-et - Toán lớp 9
Lý thuyết - Hệ thức Vi - et
1. Định lý vi et
Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,(a\neq0)$ (1)
Nếu $x_1;x_2$ là nghiệm của PT (1) thì $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{cases}$
Ví dụ: Không giải phương trình. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình (nếu có). Hãy tính $x_1+x_2;x_1.x_2$ trong các trường hợp sau:
a) $5x^2+10x-17=0$ (1)
Ta có $\triangle’=(-5)^2-5.(-17)=110>0$
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình (1) ta được: $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2\\x_1,x_2=\frac{c}{a}=\frac{-17}{5}\end{cases}$
b) $4x^2+3x+1=0$ (2)
Ta có $\triangle=3^2-4.4.1=-7<0$
Suy ra phương trình (2) vô nghiệm. Vậy không tính được $x_1+x_2;x_1.x_2$
c) $x^2-2x+1=0$ (3)
Ta có $\triangle’=(-1)^2-1.1=0$
Suy ra phương trình (3) có nghiệm kép. Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình (1) ta được: $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\x_1,x_2=\frac{c}{a}=1\end{cases}$
2. Hệ quả
Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,(a\neq0)$
- Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}$
- Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}$
- Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi $a.c<0$
Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) $2x^2+5x-7=0$ (1)
$(a=2;b=5;c=-7)$
Ta có: $a+b+c=2+5+(-7)=0$
Nên phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{2}$
b) $5x^2-6x-11=0$ (2)
Ta có: $a-b+c=5-(-6)+(-11)=0$
Nên phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=\frac{11}{5}$
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số u và v thỏa mãn u + v = S; u.v = P $(S^2\geq4P)$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình $x^2-S.x+P=0$
Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1; tích của chúng bằng -6
Giải:
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2-x-6=0$
Ta có $\triangle=(-1)^2-4.1.(-6)=25>0$
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1-5}{2}=-2;\,\,\,x_2=1-(-2)=3$
Vậy hai số cần tìm là $x_1=-2;x_2=3$