Căn bậc hai và hằng đẳng thức √A²= |A| - Toán lớp 9

1. Căn thức bậc hai

a. Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$    là căn thức bậc hai của A

A được gọi là biểu thức lấy căn (biểu thức dưới dấu căn)

b. Điều kiện xác định: $\sqrt{A}$    xác định $\Leftrightarrow A\geq0$

Ví dụ: $\sqrt{4x^2-4}$      là căn thức bậc hai của biểu thức  $4x^2-4$

$\sqrt{4x^2-4}$      xác định khi và chỉ khi 

 $4x^2-4\geq0\Leftrightarrow4x^2\geq4$

$\Leftrightarrow x^2\geq1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x\geq1\\x\leq-1\end{array}\right.$

c. Chú ý: $\sqrt{A^{2n}(x)}$      với $n\in N^*$     luôn xác định với mọi x

Ví dụ: $\sqrt{(x-7)^2}$      xác định với mọi $x\in R$     vì $(x-7)^2\geq0$      với mọi $x\in R$ 

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=|A|$

Định lý: Với mọi số a, ta có: $\sqrt{a^2}=|a|$

Ví dụ 1: $\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3\,;\sqrt{7^2}=|7|=7$

Tổng quát: Với A là một biểu thức, ta có: $\sqrt{A^2}=|A|$

Ví dụ 2: $\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$

Chú ý: $|A|=\begin{cases}A\, khi\, A\geq0\\-A\, khi\, A<0\end{cases}$

Ví dụ 3. Rút gọn

a)  $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$    b)  $\sqrt{(\sqrt{5}-7)^2}$

Giải:

a)  $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$                vì $\sqrt{3}>1$

b)  $\sqrt{(\sqrt{5}-7)^2}=|\sqrt{5}-7|=7-\sqrt{5}$                vì $7>\sqrt{5}$

Ví dụ 4. Rút gọn

a) $\sqrt{(2x+7)^2}$     với $x\geq{-7 \over 2}$

b) $\sqrt{x^6}$     với $x<0$

Giải:

a) Với  $x\geq{-7 \over 2}$       thì $2x+7\geq0$     . Khi đó:

$\sqrt{(2x+7)^2}=|2x+7|=2x+7$   

b)  $\sqrt{x^6}=\sqrt{(x^3)^2}=|x^3|$ 

Vì $x<0$        nên $x^3<0\Rightarrow|x^3|=-x^3$

Vậy $\sqrt{x^6}=-x^3$       khi  $x<0$