Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. Cộng trừ phân thức đại số - Toán lớp 8

1. Tìm mẫu thức chung

- Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

- Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng)

+ Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất

2. Quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 

3. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.
                             $\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$

4. Cộng phân thức có mẫu thức khác mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
                           $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}+\frac{BC}{BD}=\frac{AD+BC}{BD}$

Ví dụ: Làm tính cộng:  $\frac{x+1}{2x-2}+\frac{-2x}{x^2-1}$

$\frac{x+1}{2x-2}+\frac{-2x}{x^2-1}=\frac{x+1}{2(x-1)}+\frac{-2x}{(x-1)(x+1)}$

$=\frac{(x+1)(x+1)}{2(x-1)(x+1)}+\frac{2.(-2x)}{2(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)^2-4x}{2(x-1)(x+1)}$

$=\frac{x^2+2x+1-4x}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x^2-2x+1}{2(x-1)(x+1)}=\frac{(x-1)^2}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{2(x+1)}$

5. Chú ý

Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

- Giao hoán:  $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$

- Kết hợp: $(\frac{A}{B}+\frac{C}{D})+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+(\frac{C}{D}+\frac{E}{F})$

6. Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ được kí hiệu là  $-\frac{A}{B}$

Vậy $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}$ và $-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}$

7. Phép trừ

Quy tắc: Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$

                           $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+(-\frac{C}{D})$

Ví dụ. Trừ hai phân thức: $\frac{1}{y(x-y)}-\frac{1}{x(x-y)}$

$\frac{1}{y(x-y)}-\frac{1}{x(x-y)}=\frac{1}{y(x-y)}+\frac{-1}{x(x-y)}$

                       $=\frac{x}{xy(x-y)}+\frac{-y}{xy(x-y)}=\frac{x-y}{xy(x-y)}=\frac{1}{xy}$