Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Toán lớp 8

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là $| a |$, ta định nghĩa như sau:

                                           $| a |=\begin{cases}a & khi & a \geq 0\\-a & khi& a < 0\end{cases}$

Ví dụ: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức sau:

a) $A = | x - 1 | + 3 - x $ khi $x ≥ 1.$

b) $B = 3x - 1 + | - 2x |$ khi $x < 0.$

Giải:

a) Khi $x ≥ 1$ ta có $x - 1 ≥ 0$ nên $| x - 1 | = x - 1$

Do đó $A = | x - 1 | + 3 - x = x - 1 + 3 - x = 2.$

b) Khi $x < 0$ ta có $- 2x > 0$ nên $| - 2x | = - 2x$

Do đó $B = 3x - 1 + | - 2x | = 3x - 1 - 2x = x - 1.$

2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

Bước 4: Kết luận nghiệm

b) Một số dạng cơ bản

Dạng1: $| A |=B\Leftrightarrow\begin{cases}A\geq0 & \\A=B& \end{cases}$ hay  $\begin{cases}A

                 hoặc $\Leftrightarrow\begin{cases}B\geq0 &\\A=B & \end{cases}$ hay $\begin{cases}B\geq0 &\\A=-B & \end{cases}$

Dạng 2:  $| A | = | B | ⇔ A = B$ hay $A = - B.$

Dạng3:  Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối

+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.

+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.

+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.

+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ: Giải bất phương trình $| 4x | = 3x + 1$

Giải:

Ta có $| 4x | = 3x + 1$

+ Với $x ≥ 0$ ta có $| 4x | = 4x$

Khi đó phương trình trở thành $4x = 3x + 1$

                                                $⇔ 4x - 3x = 1 ⇔ x = 1.$

Giá trị $x = 1$ thỏa mãn điều kiện $x ≥ 0$, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho

+ Với $x < 0$ ta có $| 4x | = - 4x$

Khi đó phương trình trở thành $- 4x = 3x + 1$

                                               $⇔ - 4x - 3x = 1 ⇔ - 7x = 1 ⇔ x = - \frac{1}{7}$

Giá trị $x = - \frac{1}{7}$ thỏa mãn điều kiện $x < 0$, nên $x = - \frac{1}{7}$ là một nghiệm cần tìm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { $-\frac{1}{7}$;1 }.