Bất phương trình một ẩn và bất phương trình bậc nhất một ẩn - Toán lớp 8

I. Bất phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là hệ thức $A( x ) > B( x )$ hoặc $A( x ) < B( x )$ hoặc $A( x ) ≥ B( x ) $hoặc $A( x ) ≤ B( x ).$

Trong đó: $A( x )$ gọi là vế trái; $B( x )$ gọi là vế phải.

Nghiệm của bất phương trình là giá tri của ẩn thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

Ví dụ: Các phương trình một ẩn như: $ x - 1 < 2x - 3; (x + 1)/2 > - 3; 2( x - 1 ) ≤ 1 - 3x;                                                                   1 - x ≥ 2; ..$.

2. Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ : Tập nghiệm của bất phương trình $x > 2$ là tập hợp các số lớn hơn 2, tức là tập hợp

{$ x| x > 2$ }.

Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau: 

   

3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Kí hiệu là "⇔".

Ví dụ: Bất phương trình $x > 3$ và bất phương trình $6 < 2x $có cùng tập nghiệm là { $x| x > 3$ }.

II. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng $ax + b < 0 $ (hoặc $ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b ≥ 0$ ) trong đó a và b là hai số đã cho, $a \neq 0$ , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

Các bất phương trình bậc nhất một ẩn như: $2x + 3 > 0; 3 - x ≤ 0; x + 2 < 0; 4x + 7 ≥ 0;$ ...

2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Giải bất phương trình $x - 3 < 4.$

Giải:

Ta có $x - 3 < 4$

      $ ⇔ x < 4 + 3$ (chuyển vế - 3 và đổi dấu thành 3)

       $⇔ x < 7.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là { $x| x < 7$ }.

b) Quy tắc nhân với một số.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ : Giải bất phương trình $\frac{x - 1}{3 }≥ 2.$

Giải:

Ta có: $\frac{x - 1}{3} ≥ 2$

     $   ⇔ \frac{x - 1}{3}.3 ≥ 2.3 $(nhân cả hai vế với 3)

     $⇔ x - 1 ≥ 6 ⇔ x ≥ 7.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là { ${ x| x ≥ 7 }$}.

3. Giải bất phương trình một ẩn

Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

Dạng  $ax + b > 0 ⇔ ax > - b$

$⇔ x > - \frac{b}{a}$ nếu a > 0 hoặc $x < - \frac{b}{a}$ nếu a < 0.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là

$S_1=\begin{cases}a> 0\\ x > -\frac{b}{a}\end{cases}$ hoặc $S_2=\begin{cases}a<0\\ x < -\frac{b}{a}\end{cases}$

Các dạng toán như $ ax + b < 0; ax + b ≤ 0;ax + b ≥ 0$ tương tự như trên

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x - 3 > 0

Giải:

Ta có: $2x - 3 > 0$

          $⇔ 2x > 3$ (chuyển - 3 sang VP và đổi dấu)

          $⇔ 2x:2 > 3:2$ (chia cả hai vế cho 2)

          $⇔ x > \frac{3}{2}$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { $x| x > 3/2 $}.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình $2x - 1 ≤ 3x - 7$

Giải:

Ta có:$ 2x - 1 ≤ 3x - 7 ⇔ - 1 + 7 ≤ 3x - 2x$

                                    $⇔ x ≥ 6.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là { $x| x ≥ 6$ }.