Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {2x + 5} \right) > {\log _2}\left( {x - 1} \right)$. Hỏi trong tập $S$ có bao nhiêu phần tử là số nguyên dương bé hơn 10.
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x + 5 > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - \frac{5}{2}}\\ {x > 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 1$
${\log _2}\left( {2x + 5} \right) > {\log _2}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 5 > x - 1 \Leftrightarrow x > - 6$.
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: $S = \left( { 1;\, + \infty } \right)$
Theo yêu cầu bài toán, vậy có 8 phần tử là số nguyên dương bé hơn 10.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${3^x} + {9.3^{ - x}} < 10$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {3^x}\left( {t > 0} \right)$, bất phương trình có dạng $t + \frac{9}{t} < 10 \Leftrightarrow {t^2} - 10t + 9 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 9$
Khi đó: $1 < {3^x} < 9 \Leftrightarrow 0 < x < 2$. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $x=1$
Bất phương trình ${2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} $ có tập nghiệm $S = \left[ {a;b} \right]$ thì biểu thức $A = 1000b - 4a + 5$ có giá trị bằng:
${2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow {50.5^x} + {20.2^x} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow 50.{\left( {\sqrt {\frac{5}{2}} } \right)^x} + 20.{\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x} - 133 \le 0$
Đặt $t = {\left( {\sqrt {\frac{5}{2}} } \right)^x},\,t > 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow {50.5^x} + {20.2^x} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow 50.{\left( {\sqrt {\frac{5}{2}} } \right)^x} + 20.{\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x} - 133 \le 0$
Đặt $t = {\left( {\sqrt {\frac{5}{2}} } \right)^x},\,t > 0$ ta được bất phương trình $50{t^2} - 133t + 20 \le 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{25}} \le t \le \frac{5}{2}$
Với $\frac{4}{{25}} \le t \le \frac{5}{2}$, ta có: $\frac{4}{{25}} \le {\left( {\sqrt {\frac{5}{2}} } \right)^x} \le \frac{5}{2} \Leftrightarrow - 2 \le \frac{x}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 4 \le x \le 2$
Tập nghiệm của bất phương trình $S = \left[ { - 4;2} \right]$ $ \Rightarrow a = - 4,\,b = 2$
$ \Rightarrow A = 1000b - 4a + 5 = = 1000.2 - 4\left( { - 4} \right) + 5 = 2021$
Bất phương trình ${\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x>-1$
${\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right) \\ \Leftrightarrow x + 7 > {x^2} + 2x + 1 \\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \\ \Leftrightarrow - 3 < x < 2$.
Do $x$ nguyên và $x>-1$
Vậy $x \in \left\{ { 0;\,1} \right\}$. Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Bất phương trình ${\log _2}\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 0$ có tập nghiệm $T = \left( {\frac{1}{4};a} \right] \cup \left[ {b; + \infty } \right)$ . Hỏi $M = a + b$ bằng.
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 4}\\ {\frac{1}{4} \le x \le 2} \end{array}} \right.$
${\log _2}\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 10x + 9}}{{4x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 9}\\ {\frac{1}{4} \le x \le 1} \end{array}} \right.$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $T = \left[ {9;\, + \infty } \right) \cup \left[ {\frac{1}{4};\,1} \right]$
Vậy $a=1,b=9$. Khi đó $M=a+b=1+9=10$
Tập nghiệm của bất phương trình ${16^x} - {5.4^x} + 4 \ge 0$ là:
Đặt $t = {4^x},\,t > 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {4^x},\,t > 0$
${16^x} - {5.4^x} + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5.t + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt \ge 4\\\nt \le 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt \ge 4\\\n0 < t \le 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{4^x} \ge 4\\\n0 < {4^x} \le 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\nx \le 0\n\end{array} \right.$
Vậy $T = \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)$
Cho $a$ là số thực dương và khác 1 và bất phương trình $2{\log _a}\left( {23x - 23} \right) > {\log _{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$ nhận $x = \frac{{15}}{2}$ làm một nghiệm. Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là:
Thay $x = \frac{{15}}{2}$ vào bất phương trình để tìm giá trị $a$ từ đó giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x>1,a>0$
Ta có $x = \frac{{15}}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $2{\log _a}\left( {23x - 23} \right) > {\log _{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$
$ \Rightarrow 2{\log _a}\frac{{299}}{2} > {\log _{\sqrt a }}\frac{{345}}{4}$$ \Rightarrow {\log _a}\frac{{299}}{2} > {\log _a}\frac{{345}}{4}$ $ \Rightarrow a > 1$
Khi đó:
$2{\log _a}\left( {23x - 23} \right) > {\log _{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right) \Leftrightarrow 23x - 23 > {x^2} + 2x + 15 \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 38 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 19$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $T = \left( {2;{\rm{ 19}}} \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x \ge 2$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x \ge 3$
${\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x \ge 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x \ge 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le - 1 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {4; + \infty } \right)$
Biết $S = \left[ {a;\,b} \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình ${3.9^x} - {10.3^x} + 3 \le 0$. Tìm $T = b - a$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${3.9^x} - {10.3^x} + 3 \le 0 \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{3} \le x \le {\log _3}3 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 1;\,1} \right]$. Khi đó $a=-1,b=1$, khi đó $T=1-(-1)=2$
Tập nghiệm của bất phương trình ${9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} - 2{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)} \right) > 0$ là?
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right) > 0}\\ {2x - 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1}\\ {x > \frac{1}{2}} \end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$
${\log _{0,5}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)} \right) > 0\, \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x - 1} \right) < 1 \Leftrightarrow 2x - 1 < 2 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{3x - 2 > 0}\\\n{{{\left( {22 - 5x} \right)}^2} > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > \frac{2}{3}}\\\n{x \ne \frac{{22}}{5}}\n\end{array}} \right.} \right.$
${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x - 2} \right) > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {3x - 2} \right)^2} > {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {22 - 5x} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {3x - 2} \right)^2} < {\left( {22 - 5x} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 16{x^2} - 208x + 480 > 0 \Leftrightarrow x < 3 \vee x > 10$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là:$T = \left( {\frac{2}{3};\,3} \right) \cup \left( {10;\, + \infty } \right)$.
Vậy bất phương trình có nhiều hơn 10 nghiệm nguyên.
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_4}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0}\\ {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 1}\\ {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 2 \vee x > 1}\\ {x < \frac{{ - 1}}{2} \vee x > 1} \end{array} \Leftrightarrow x < - 2 \vee x > 1} \right.} \right.} \right.$
${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 1$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ; - 2} \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình $3{\log _2}\left( {x + 3} \right) - 3 \le {\log _2}{\left( {x + 7} \right)^3} - {\log _2}{\left( {2 - x} \right)^3}$ là $S = \left( {a;{\rm{ }}b} \right)$. Tính $P = b - a$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0\\ x + 7 > 0\\ 2 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 3\\ x > - 7\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < x < 2$
$3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 3} \right) - 1} \right) \le 3\left( {{{\log }_2}\left( {x + 7} \right) - {{\log }_2}\left( {2 - x} \right)} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) - 1 \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) - {\log _2}\left( {2 - x} \right)$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 3} \right) + {\log _2}\left( {2 - x} \right) \le {\log _2}\left( {x + 7} \right) + 1 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) \le 2\left( {x + 7} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 8 \ge 0$ ( luôn đúng)
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - 3;{\rm{ 2}}} \right)$
Khi đó $a=-3,b=2$. $P=b-a=2-(-3)=5$
Bất phương trình ${2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 10}}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {2^{10 - 2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 \le 10 - 2x \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0$$ \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3$
Do $x \in {\mathbb{Z}^*}$ nên $x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$
Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên dương.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^{\frac{{3 - x}}{{x - 1}}}} > {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x \ne 1}\\\n{x \ne - 3}\n\end{array}} \right.$
${\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^{\frac{{3 - x}}{{x - 1}}}} > {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x - 3}}{{x - 1}}}} > {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 1}} > \frac{{x + 1}}{{x + 3}} \Leftrightarrow \frac{{ - 8}}{{(x - 1)(x + 3)}} > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1 \Rightarrow x = \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}$
Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
Biết $S = \left[ {a;\,b} \right) \cup \left( {c;\,d} \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {{{\log }_3}\left| {x - 3} \right|} \right] \ge 0$. Tính $M=a+b+c+d$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện:$\left\{ \begin{array}{l} x \ne 3\\ {\log _3}\left| {x - 3} \right| > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 3\\ \left| {x - 3} \right| > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 2 \end{array} \right.$
${\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {{{\log }_3}\left| {x - 3} \right|} \right] \ge 0 \Leftrightarrow 0 < {\log _3}\left| {x - 3} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3} \right| \le 3\\ \left| {x - 3} \right| > 1 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 < x - 3 \le 3\\ - 1 > x - 3 \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 < x \le 6\\ 2 > x \ge 0 \end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {0;\,2} \right) \cup \left( {4;\,6} \right]$
Vậy $a=0, b=2, c=4, d=6$. $M=a+b+c+d=0+2+4+6=12$
Giải bất phương trình ${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)$ được tập nghiệm là $\left( {a;\,b} \right)$. Hãy tính tổng $S=a+b$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{3x - 2 > 0}\\\n{6 - 5x > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > \frac{2}{3}}\\\n{x < \frac{6}{5}}\n\end{array}} \right.} \right.$
${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow x > 1$.
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;\,\frac{6}{5}} \right)$
Vậy $a = 1,\,b = \frac{6}{5}$.$S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}$
Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{3x - 2}} + \frac{1}{{{{27}^x}}} \le \frac{2}{3}$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${3^{3x - 2}} + \frac{1}{{{{27}^x}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{{3^{3x}}}}{9} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {{3^{3x}}} \right)^2} - {6.3^{3x}} + 9 \le 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {{3^{3x}} - 3} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {3^{3x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$
Tập nghiệm của bất phương trình $2{\log _3}\left( {4x - 3} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)$ có dạng $S = \left( {\frac{a}{b};3} \right]$ với $a, b>0$ . Tính $M = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$
$2{\log _3}\left( {4x - 3} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {4x - 3} \right)^2} \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)$
$ \Leftrightarrow {\left( {4x - 3} \right)^2} \le 18x + 27 \Leftrightarrow 16{x^2} - 42x - 18 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{8} \le x \le 3$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right]$
Vậy $a=3, b=4$. $M = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$