Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} > 81$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${3^x} > 81 \Leftrightarrow {3^x} > {3^4} \Leftrightarrow x > 4$
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}32 \Leftrightarrow x < - 5$
Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3$ là:
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
${\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3 \Rightarrow x - 1 < 8 \Leftrightarrow x < 9$
Vậy đáp án đúng là: B
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) \le 3$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: ${x^2} + 2 > 0$ ( luôn đúng)
${\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le 27 \Leftrightarrow {x^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le x \le 5$
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < 8$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < 8 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x > - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < 1 \vee x > 3$
Vậy $S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
Khi đặt $t = {\log _5}x$ thì bất phương trình $\log _5^2\left( {5x} \right) - 3{\log _{\sqrt 5 }}x - 5 \le 0$ trở thành bất phương trình nào sau đây?
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\log _5^2\left( {5x} \right) - 3{\log _{\sqrt 3 }}x - 5 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_5}x + 1} \right)^2} - 6{\log _5}x - 5 \le 0 \Leftrightarrow \log _5^2x - 4{\log _5}x - 4 \le 0$
Đặt $t = {\log _5}x$ bất phương trình trở thành ${t^2} - 4t - 4 \le 0$
Bất phương trình ${3^{x + 2}} > {9^{x - 1010}}$ có nghiệm là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${3^{x + 2}} > {9^{x - 1010}} \Leftrightarrow x + 2 > 2x - 2020 \Leftrightarrow x < 2022$
Giải bất phương trình ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1$ ta tìm được tập nghiệm $T$ . Tìm $T$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;2} \right]$
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét mệnh đề ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0$ sai. Vì $\frac{1}{3} < 1$ ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a < b$
Biết tập nghiệm của bất phương trình ${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}$ có dạng $\left( {a;\, + \infty } \right)$. Tìm $a$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}} \Leftrightarrow {5^{x + 2}} < {\left( 5 \right)^{2x}} \Leftrightarrow 2 < x$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S = \left( {2; + \infty } \right)$. Khi đó $a=2$
Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2}}} < {2^{6 - x}}$ có dạng $\left( {a;\,b} \right)$. Tính $T = a + b$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${2^{{x^2}}} < {2^{6 - x}} \Leftrightarrow {x^2} < 6 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $\left( { - 3;2} \right)$. Khi đó $a=-3;b=2$ và $T=a+b=-3+2=-1$
Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình $\log \left( {2{x^2} - 11x + 15} \right) \le 1$ là:
${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$ nếu $a>1$
${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $2{x^2} - 11x + 15 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$ hoặc $x > 3$
$\log \left( {2{x^2} - 11x + 15} \right) \le 1 \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 15 \le 10 \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 5 \le 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 5$
Kết hợp với điều kiện ta có: $\frac{1}{2} \le x < \frac{5}{2}$ hoặc $3 < x \le 5$.
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên $x \in \left\{ {1;2;4;5} \right\}$
Tập nghiệm của bất phương trình $\ln {x^2} < 2\ln \left( {4x + 4} \right)$ là:
${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$ nếu $a>1$
${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $ - 1 < x \neq 0$
$\ln {x^2} < 2\ln \left( {4x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} < {\left( {4x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 15{x^2} + 32x + 16 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx < - \frac{4}{3}\\\nx > - \frac{4}{5}\n\end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình: $S = \left( { - \frac{4}{5}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $5 - \sqrt 3 > 1$ nên ${\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^3} < {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^4} \Leftrightarrow 3 < 4$
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log _3}\left( {1 - x} \right) < {\log _3}\left( {2x + 3} \right)$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x > 0}\\ {2x + 3 > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1}\\ {x > - \frac{3}{2}} \end{array}} \right.} \right.$
${\log _3}\left( {1 - x} \right) < {\log _3}\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow 1 - x < 2x + 3 \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \frac{2}{3};1} \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4$ có dạng $\left( {a;\,b} \right]$. Tính $S = {a^3} + {b^2}$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x>3$
${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4 \Leftrightarrow 0 < x - 3 \le 4 \Leftrightarrow x \le 7$
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {3;\,7} \right]$. Vậy $a=3; b=7$. Khi đó $T = {a^3} + {b^2} = {3^3} + {7^2} = 76$
Cho hai số thực $a,\,b$ với $1 < a < b$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right)^x} < 1 \Leftrightarrow x > {\log _{\frac{{2016}}{{2017}}}}1 = 0$
Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} \le {9^{\frac{{x + 1}}{2}}}$ là:
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${3^x} \le {9^{\frac{{x + 1}}{2}}} \Leftrightarrow {3^x} \le {3^{x + 1}} \Leftrightarrow x \le x + 1 \Leftrightarrow 0 \le 1$ ( luôn đúng)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \mathbb{R}$
Tập nghiệm của bất phương trình: ${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 3$ là:
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b < {a^c}$ nếu $a>1$
${\log _a}b < c \Leftrightarrow b > {a^c}$ nếu $0 < a<1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x>0$
${\log _2}\left( {x - 1} \right) > 3 \Leftrightarrow x - 1 > {2^3} \Leftrightarrow x > 9$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left( {9;\; + \infty } \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình ${5^{{x^2} - x}} < 25$ có dạng $\left( {a;\,b} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$ nếu $a>1$
+ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${5^{{x^2} - x}} < 25 \Leftrightarrow {x^2} - x < 2 \Leftrightarrow - 1 < x < 2$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - 1;2} \right)$. Vậy mệnh đề A đúng.