Nghiệm của phương trình ${5^x} = 125$ bằng?
${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${5^x} = 125 \Leftrightarrow {5^x} = {5^3} \Leftrightarrow x = 3$
Tìm $x$ biết ${\log _3}x = \frac{1}{2}$
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${\log _3}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {3^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 $
Phương trình ${\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x = 11$ có nghiệm là:
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x = 11 \Leftrightarrow {\log _3}x + \frac{1}{2}{\log _3}x + \frac{1}{3}{\log _3}x = 11$
$ \Leftrightarrow {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^6} = 729$
Số nghiệm của phương trình: $\log _3^2x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 2$
Đặt $t = {\log _3}x$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x > 0$
$\log _3^2x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 2 \Leftrightarrow \log _3^2x - {\log _3}x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{{\log }_3}x = - 1}\\\n{{{\log }_3}x = 2\,}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = \frac{1}{3}}\\\n{x = 9}\n\end{array}} \right.} \right.$
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Nghiệm của phương trình: ${\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x$.
${\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow {2^{{{\log }_2}\left( {5 - {2^x}} \right)}} = {2^{2 - x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $5 - {2^x} > 0$
${\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow {2^{{{\log }_2}\left( {5 - {2^x}} \right)}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {2^{2x}} - {5.2^x} + 4 = 0$
Đặt $t = {2^x}$ ($t>0$)
$ \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{t = 1}\\\n{t = 4}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{2^x} = 1}\\\n{{2^x} = 4}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 0}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Số nghiệm của phương trình ${2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}}$ là:
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\n\sqrt x = 2 - x\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${2^{x + 1}} = 8$
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${2^{x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$
Số nghiệm của phương trình ${2^{2{x^2} - 5x + 3}} = 1$ là:
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${2^{2{x^2} - 5x + 3}} = 1 = {2^0}{ \Leftrightarrow ^{2{x^2} - 5x + 3}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = \frac{3}{2}\n\end{array} \right.$
Tìm nghiệm của phương trình: ${4^{x + 1}} + {2^{2x - 1}} - 5 = 0$
Đặt $t = {2^x}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${4^{x + 1}} + {2^{2x - 1}} - 5 = 0 \Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{1}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}$
Cho phương trình ${3^{2x + 10}} - {6.3^{x + 4}} - 2 = 0\left( 1 \right)$. Nếu đặt $t = {3^{x + 5}}\left( {t > 0} \right)$ thì $(1)$ trở thành phương trình nào?
${3^{2x + 10}} - {6.3^{x + 4}} - 2 = 0 \Leftrightarrow {3^{2\left( {x + 5} \right)}} - {2.3^{x + 5}} - 2 = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${3^{2x + 10}} - {6.3^{x + 4}} - 2 = 0 \Leftrightarrow {3^{2\left( {x + 5} \right)}} - {2.3^{x + 5}} - 2 = 0$
Vậy khi đặt $t = {3^{x + 5}}\left( {t > 0} \right)$ thì $(1)$ trở thành phương trình ${t^2} - 2t - 2 = 0.$
Phương trình ${3^{\frac{1}{x}}} = 4$ có nghiệm là:
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x \neq 0$
${3^{\frac{1}{x}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _4}3$
Cho phương trình ${5^{2{x^2} - x}} = 5$. Tìm tập nghiệm của phương trình đã cho.
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đã cho đương tương với: $2{x^2} - x = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - \frac{1}{2}$
Cho số thực dương $a$ và $a \neq 1$ thỏa ${a^x} = 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${a^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _a}2$
Cho phương trình ${25^{x + 1}} - {26.5^x} + 1 = 0$. Đặt $t = {5^x}$, $t > 0$ thì phương trình trở thành
${25^{x + 1}} - {26.5^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {25.5^{2x}} - {26.5^x} + 1 = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${25^{x + 1}} - {26.5^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {25.5^{2x}} - {26.5^x} + 1 = 0$. Nếu $t = {5^x}$, $t > 0$ thì phương trình trở thành $25{t^2} - 26t + 1 = 0$.
Phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$ có tổng các nghiệm bằng
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 2\\\nx = - \frac{1}{2}\n\end{array} \right.$
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng: $ - \frac{5}{2}$
Tìm nghiệm cảu phương trình ${\log _3}\left( {5x + 3} \right) = {\log _3}\left( {7x + 5} \right)$
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{5x + 3 > 0}\\\n{7x + 5 > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > - \frac{3}{5}}\\\n{x > - \frac{5}{7}}\n\end{array} \Leftrightarrow x > - \frac{3}{5}} \right.} \right.$
${\log _3}\left( {5x + 3} \right) = {\log _3}\left( {7x + 5} \right) \Leftrightarrow 5x + 3 = 7x + 5 \Leftrightarrow x = - 1$(loại).
Vậy không có giá trị $x$ thỏa mãn.
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình: $\log \left( {x - 1} \right) - \log \left( {2x - 11} \right) = \log 2$
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x - 1 > 0}\\\n{2x - 11 > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 1}\\\n{x > \frac{{11}}{2}}\n\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{{11}}{2}} \right.} \right.$
$\log \left( {x - 1} \right) - \log \left( {2x - 11} \right) = \log 2 \Leftrightarrow \log \frac{{x - 1}}{{2x - 11}} = \log 2 \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2x - 11}} = 2$
$ \Leftrightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7$ (nhận)
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: ${\log _2}\left( {x - 5} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3$
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x - 5 > 0}\\\n{x + 2 > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 5}\\\n{x > - 2}\n\end{array} \Leftrightarrow x > 5} \right.} \right.$
${\log _2}\left( {x - 5} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 6\,\,\,\,}\\\n{x = - 3}\n\end{array}} \right.$. So với điều kiện $ \Leftrightarrow x = 6$
Tìm nghiệm $S$ của phương trình $\log \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \log \left( {x - 3} \right)$
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x^2} - 6x + 7 > 0}\\\n{x - 3 > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x < \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} \vee x > \frac{{6 + 2\sqrt 2 }}{2}}\\\n{x > 3}\n\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{{6 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right.} \right.$
$\log \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \log \left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 5}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.$. So với điều kiện
$ \Leftrightarrow x = 5$
Phương trình ${9^x} - {3.3^x} + 2 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ với ${x_1} < {x_2}$. Giá trị $A = 2{x_1} + 3{x_2}$ là:
${9^x} - {3.3^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} - {3.3^x} + 2 = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${9^x} - {3.3^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{3^x} = 1\\\n{3^x} = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = {\log _3}2\n\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x_1} = 0,\,{x_2} = {\log _3}2$
$ \Rightarrow A = 2{x_1} + 3{x_2} = 3{\log _3}2$