Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình $2f\left( {3x - 5} \right) - 7 = 0$ là:
Đặt $t=3x-5$, hàm số trở thành hàm $f(t)$ từ đó tìm số nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$2f\left( {3x - 5} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left( {3x - 5} \right) = \frac{7}{2}$
Đặt $t = 3x - 5$, phương trình trở thành $f\left( t \right) = \frac{7}{2}$. Với mỗi nghiệm $t$ ta được nghiệm $x = \frac{{t + 5}}{3}$ nên số nghiệm $t$ của phương trình $f\left( t \right) = \frac{7}{2}$ bằng với số nghiệm $x$ của phương trình $2f\left( {3x - 5} \right) - 7 = 0$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f\left( t \right) = \frac{7}{2}$ có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình $2f\left( {3x - 5} \right) - 7 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f({x^3} + 1) = m$ có 4 nghiệm phân biệt là:
Đặt $t = {x^3} + 1$, phương trình $f({x^3} + 1) = m$ trở thành $f(t) = m$ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^3} + 1$, phương trình $f({x^3} + 1) = m$ trở thành $f(t) = m$ . Do $y = {x^3} + 1$ là hàm đồng biến nên ta có bảng biến thiên hàm số $y = f(t)$ cũng là:
Để phương trình $f({x^3} + 1) = m$ có 4 nghiệm phân biệt thì $- 9 < m < 7$. Do đó có 15 giá trị thỏa mãn.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb R$ và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right| = 4$ là:
Đặt $t = {x^2} - 2x - 1$.Khi đó phương trình trở thành $\left| {f\left( t \right)} \right| = 4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^2} - 2x - 1$. Khi đó phương trình trở thành $\left| {f\left( t \right)} \right| = 4$. Từ bảng biến thiên ta có:
Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thỏa mãn ${x_1} < - 2 < {x_2} < 0 < {x_3} < 2 < {x_4}$. Ta có bảng biến thiên của hàm $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ là:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( t \right) = 4$ có 6 nghiệm phân biệt ${t_1},{t_2},{t_3},{t_4},{t_5},{t_6}$ thỏa mãn ${t_1} < {x_1} < {t_2} < - 2 < {t_3} < {x_2} < 0 < {x_3} < {t_4} < 2 < {t_5} < {x_4} < {t_6}$.
Xét hàm số $y = {x^2} - 2x - 1$ có $y\' = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy mỗi phương trình ${x^2} - 2x - 1 = t$ với $t \in \left\{ {{t_3},{t_4},{t_5},{t_6}} \right\}$ có hai nghiệm phân biệt .
Vậy phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right| = 4$ có 8 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb R$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{x^2} + 2x - 2} \right) = 3m + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $\left[ {0;1} \right].$
Đặt $t = {x^2} + 2x - 2$. Phương trình $f\left( {{x^2} + 2x - 2} \right) = 3m + 1$ trở thành $f\left( t \right) = 3m + 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^2} + 2x - 2$, với $x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]$
Phương trình $f\left( {{x^2} + 2x - 2} \right) = 3m + 1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;1} \right]$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right) = 3m + 1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 2;1} \right] \Leftrightarrow 0 \le 3m + 1 \le 4 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le m \le 1$
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Số các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho trọng tâm $\Delta OAB$ nằm trên đường tròn ${x^2} + {y^2} - 3y = 4$ là:
Phương trình hoành độ giao điểm.
Nhớ: G là trọng tâm tam giác OAB $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_A} + {x_B}}}{3}}\\\n{{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_A} + {y_B}}}{3}}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$
Theo yêu cầu bài toán: $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 2.
$\left\{ \begin{array}{l}\n\Delta > 0\\\n4 + \left( {m - 3} \right)2 - 2m - 1 \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 13 > 0,\forall m$
Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$. G là trọng tâm của tam giác OAB nên:
$G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{3};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2m}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{3 - m}}{3};\frac{{3 - m + 2m}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{3 - m}}{3};\frac{{3 + m}}{3}} \right)$
Theo yêu cầu bài toán: ${\left( {\frac{{3 - m}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 + m}}{3}} \right)^2} - 3\left( {\frac{{3 + m}}{3}} \right) = 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 9m - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = - 3\\\nm = \frac{{15}}{2}\n\end{array} \right.$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ tại 3 điểm phân biệt $A, B, C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$) sao cho $AB = 2BC$. Tính tổng các phần tử thuộc $S$.
Phương trình hoành độ giao điểm và ứng dụng vi - ét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3{x^2} = m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - m = 0\,\left( 1 \right)$.
Giả sử ${x_1};\,{x_2};\,{x_3}$ là 3 nghiệm của phương trình (1)$\Rightarrow A\left( {{x_1};\,m} \right),\,B\left( {{x_2};\,m} \right),\,C\left( {{x_3};\,m} \right)$.
Áp dụng hệ thức vi -ét cho phương trình bậc 3 ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3}&{\left( 1 \right)}\n\end{array}\\\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = 0}&{\left( 2 \right)}\n\end{array}\\\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1}{x_2}{x_3} = m}&{\left( 3 \right)}\n\end{array}\n\end{array} \right.$.
Mặt khác $AB = 2BC \Rightarrow {x_2} - {x_1} = 2\left( {{x_3} - {x_2}} \right) \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}\n{3{x_2} - {x_1} - 2{x_3} = 0\,}&{\left( 4 \right)}\n\end{array}$.
Từ (1), (4)$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} = 6 - 5{x_2}\\\n{x_3} = 4{x_2} - 3\n\end{array} \right.$ thay vào (2) ta được:
$\left( {6 - 5{x_2}} \right){x_2} + {x_2}\left( {4{x_2} - 3} \right) + \left( {4{x_2} - 3} \right)\left( {6 - 5{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 7{x_2}^2 - 14{x_2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7}\\\n{x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}\n\end{array} \right.$
Với ${x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7}$ ta có ${x_1} = \frac{{7 + 5\sqrt 7 }}{7}$ và ${x_3} = \frac{{7 - 4\sqrt 7 }}{7}$ thay vào (3) ta được:$m = \frac{{ - 98 + 20\sqrt 7 }}{{49}}$.
Với ${x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}$ ta có ${x_1} = \frac{{7 - 5\sqrt 7 }}{7}$ và ${x_3} = \frac{{7 + 4\sqrt 7 }}{7}$ thay vào (3) ta được: $m = \frac{{ - 98 - 20\sqrt 7 }}{{49}}$
Vậy tổng hai giá trị của $m$ bằng $\frac{{ - 98 + 20\sqrt 7 }}{{49}} - \frac{{98 + 20\sqrt 7 }}{{49}} = - 4$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb R$ và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3$
$\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = 3\\\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3\n\end{array} \right.$. Từ đó dựa vào bảng biến thiên suy ra số nghiệm phương trình.
Lưu ý: Có thể đặt $t = {x^2} - 2x$ rồi vẽ lại bảng biến thiên $y = \left| {f\left( t \right)} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = 3\\\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3\n\end{array} \right.$
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình $f\left( {{x^2} - 2x} \right) = 3\,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = a\left( {a > 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - a = 0$. Vì $\Delta = 1 + a > 0$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình $f\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = b\left( {b < - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - b = 0$. Vì $\Delta = 1 + b < 0$ nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3$ là 2.
Một trong các đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\mathbb R$ thỏa mãn $g’\left( 0 \right) = 0$, $g’’\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\,2} \right)$. Hỏi đó là đồ thị nào?
Dựa vào dữ kiện bài toán tìm điểm cực đại, cực tiểu, từ đó suy ra đồ thị cần tìm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} g’’\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\,2} \right)\\ 0 \in \left( { - 1;\,\,2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow g’’\left( 0 \right) < 0$
Mà $\left\{ \begin{array}{l} g’\left( 0 \right) = 0\\ g’’\left( 0 \right) < 0 \end{array} \right.$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right)$.
Quan sát đồ thị ta thấy phương án A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình $f\left( {\sin x} \right) = - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \alpha \in \left( { - 1;0} \right)\\ \sin x = \beta \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.$.
Vì $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;\,1} \right)$. Suy ra với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ thì $f\left( {\sin x} \right) = - 4$$\Leftrightarrow \sin x = \beta \in \left( {0;1} \right)$. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x \in \left( {0;\pi } \right)$ (thỏa mãn)
Tìm $m$ để đồ thị $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ và đường thẳng $y = mx + m$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $A\left( { - 1;0} \right),\,B,\,C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng 8.
Phương trình hoành độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm:
${x^3} - 3{x^2} + 4 = mx + m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx - m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - m + 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x + 1 = 0\\ {x^2} - 4x - m + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x = - 1\\ {x^2} - 4x - m + 4 = 0,(*) \end{array} \right.$
Đồ thị $(C)$ và đường thẳng $y = mx + m$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác $-1$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - \left( { - m + 4} \right) > 0\\ 1 + 4 - m + 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m \ne 9 \end{array} \right.$
Ta có: $A\left( { - 1;0} \right);B\left( {2 + \sqrt m ;3m + m\sqrt m } \right);C\left( {2 - \sqrt m ;3m - m\sqrt m } \right)$
$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2\sqrt m ; - 2m\sqrt m } \right) \Rightarrow BC = \sqrt {4{m^3} + 4m} = 2\sqrt {m\left( {{m^2} + 1} \right)} $
Đường thẳng $BC:\frac{{x - 2 - \sqrt m }}{{ - 2\sqrt m }} = \frac{{y - 3m - m\sqrt m }}{{ - 2m\sqrt m }} \Leftrightarrow mx - y + m = 0$
Khoảng cách $d\left( {O;BC} \right) = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}$
Diện tích $\Delta OBC$ bằng 8, suy ra $S = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\sqrt {m\left( {{m^2} + 1} \right)} .\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 8$$\Leftrightarrow \sqrt m .\left| m \right| = 8 \Leftrightarrow {m^3} = 64 \Leftrightarrow m = 4$