Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$. Loại C

+ TCĐ:$x=3$, TCN: $y=2$. Loại D.

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $\left( {\frac{1}{2};0} \right)$, $\left( {0;\,\frac{1}{3}} \right)$. Loại B

Chọn A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, chọn A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào hình 2, kết hợp với đồ thị đi qua $\left( {1;\,4} \right)$. Chọn C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

$y = \left| {{x^3} - 3x + 2} \right| \ge 0$. Loại B.

Đáp án A và D nhận trục tung làm trục đối xứng nên là hàm chẵn, mà đồ thị hàm số của đề bài k phải là hàm chẵn nên loại A, D.

Chọn C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị $y = f’\left( x \right)$ suy ra $a<0$ và $f’\left( x \right) = 0$ vô nghiệm nên chọn $y = - {x^3} + {x^2} - x + 2$. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

+TCĐ: $x=2$$\Rightarrow - \frac{b}{c} = 2 \Leftrightarrow b = - 2c$

+ TCN: $y=1$$\frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a = c$

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 2;0} \right)$$\Rightarrow c = 1$.

Vậy  $a=1, b=-2, c=1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

+ Hàm số có ba cực trị $\Rightarrow a.b < 0$. Loại D.

+ $c<0$. Loại C.

+ Hàm số đi qua hai điểm $\left( { - 1;\, - 4} \right),\left( {1;\, - 4} \right)$. Chọn B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\ny\'\left( 0 \right) = c = 0\\\ny\'\left( 2 \right) = 12a + 4b + c = 0\\\ny\left( 0 \right) = d = 2\\\ny\left( 1 \right) = a + b + c + d = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 1\\\nb = - 3\\\nc = 0\\\nd = 2\n\end{array} \right.$. Vậy $S = a + b = - 2.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y\' = 4{x^3} - 16x,\,y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \pm 2\n\end{array} \right.$

Từ bảng biến thiên , để đường thẳng $y = 4m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^4} - 8{x^2} + 3$ tại bốn điểm phân biệt thì $- 13 < 4m < 3 \Leftrightarrow - \frac{{13}}{4} < m < \frac{3}{4}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

+ TCĐ: $x = 2 \Rightarrow - \frac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow 2b + c = 0$

+ TCN: $y = 1 \Rightarrow \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 1$$\Rightarrow c = - 2$

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 2;0} \right)$ nên ta có: $0 = \frac{{ - 2 - a}}{{ - 2 - 2}} \Leftrightarrow a = - 2$

Vậy $P = - 2 + 1 - 2 = - 3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình tọa độ giao điểm: 

${x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = {x^2} - 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = 2\n\end{array} \right.$

Suy ra $A\left( {1;\, - 1} \right)$, $B\left( {2;\, - 1} \right)$,  $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,0} \right) \Rightarrow AB = 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x + m = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\left( {x \neq 2} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + mx - 2m = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 4} \right)x - 2m - 1 = 0$ (1)

Để $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị khi (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 2 < {x_2}$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\n\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\\n{x_1} < 2 < {x_2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{m^2} + 20 > 0 & & \left( {\forall m \in\mathbb R } \right)\\\n{x_1} - 2 < 0 < {x_2} - 2\n\end{array} \right.$

$\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0$

Áp dụng hệ thức vi - ét ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} + {x_2} = 4 - m\\\n{x_1}{x_2} = - 2m - 1\n\end{array} \right.$

Ta được: $- 2m - 1 - 2\left( {4 - m} \right) + 4 < 0 \Leftrightarrow - 5 < 0,\,\left( {\forall m} \right)$

Vậy $(d)$  luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị với mọi $m \in\mathbb R$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = {m^3} - 3{m^2}$

Xét hàm $f(x) = {x^3} - 3{x^2}$

$f\'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$, $f\'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 2\n\end{array} \right.$

Ta có $f\left( { - 1} \right) = 4$ và $f\left( 3 \right) = 0$. Phương trình có ba nghiệm phân biệt  $\Leftrightarrow - 4 < {m^3} - 3{m^2} < 0$

. Vậy $m \in \left( { - 1;\,3} \right)\backslash \left\{ {0,\,2} \right\}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y\' = 4a{x^3} - 2bx = 0$

Dựa vào đồ thị ta có:

+ $a>0$

+ Đồ thị có ba cực trị nên $a.(-b)<0$$ \Rightarrow b > 0$.

+ $x=0$, c>0.

Vậy $a>0, b>0, c>0$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: điểm cực đại $\left( {1;\,0} \right)$, điểm cực tiểu $\left( {3;\, - 4} \right)$.

Hàm số thỏa mãn là: $y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 4$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = f\left( x \right)$ $f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = {t_1}\\\nt = {t_2}\\\nt = {t_3}\n\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}\nf\left( x \right) = {t_1}\\\nf\left( x \right) = {t_2}\\\nf\left( x \right) = {t_3}\n\end{array} \right.$ với ${t_1},\,{t_2},\,{t_3}$ thuộc khoảng $\left( { - 2;2} \right)$.

Dựa vào đồ thị ta thấy mỗi đường thẳng $y = {t_1},\,y = {t_2}$ và $y = {t_3}$ mỗi đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ có 9 nghiệm.