Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực $m, n$ để phương trình ${z^4} + m{z^2} + n = 0$ không có nghiệm thực.
Phương trình ${z^4} + m{z^2} + n = 0$ không có nghiệm thực khi, phương trình vô nghiệm hoặc phương trình có hai nghiệm âm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${z^4} + m{z^2} + n = 0$ không có nghiệm thực trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là ${m^2} - 4n < 0$
TH2: ${t^2} + mt + n = 0\,\left( {t = {z^2}} \right)$ có hai nghiệm âm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\Delta > 0}\\\n{S < 0}\\\n{P > 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{m^2} - 4n > 0}\\\n{m > 0}\\\n{n > 0}\n\end{array}} \right.} \right.$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $11{z^{2018}} + 10i{z^{2017}} + 10iz - 11 = 0.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đặt $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
$11{z^{2018}} + 10i{z^{2017}} + 10iz - 11 = 0$
$ \Leftrightarrow {z^{2017}} = \frac{{11 - 10iz}}{{11z + 10i}} \Rightarrow {\left| z \right|^{2017}} = \left| {\frac{{11 - 10iz}}{{11z + 10i}}} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^{2017}} = \frac{{\sqrt {100\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 + 220y} }}{{\sqrt {121\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 100 + 220y} }}$
Xét trường hợp $\left| z \right| > 1,\,\left| z \right| < 1,\,\left| z \right| = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
$11{z^{2018}} + 10i{z^{2017}} + 10iz - 11 = 0$
$ \Leftrightarrow {z^{2017}} = \frac{{11 - 10iz}}{{11z + 10i}} \Rightarrow {\left| z \right|^{2017}} = \left| {\frac{{11 - 10iz}}{{11z + 10i}}} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^{2017}} = \frac{{\sqrt {100\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 + 220y} }}{{\sqrt {121\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 100 + 220y} }}$
TH1: $\left| z \right| < 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} < 1$
$ \Rightarrow 100\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 + 220y > 121\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 100 + 220y$$ \Rightarrow \left| z \right| > 1\left( {{\rm{sai}}} \right)$
TH2: $\left| z \right| > 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} > 1$
$ \Rightarrow 100\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 + 220y < 121\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 100 + 220y \Rightarrow \left| z \right| < 1\left( {{\rm{sai}}} \right)$
TH3: $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1$. $ \Rightarrow 1 = \frac{{\sqrt {100 + 121 + 220y} }}{{\sqrt {121 + 100 + 220} }} \Leftrightarrow 1 = 1$
Vậy $\left| z \right| = 1$
Cho phương trình ${z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = 0$ có bốn nghiệm phức phân biệt là $z_1, z_2, z_3, z_4$. Tính giá trị biểu thức: $T = \left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $f\left( z \right) = {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 \Rightarrow f\left( z \right) = 0$
Ta có: ${z^2} + 4 = {z^2} - 4{i^2} = \left( {z + 2i} \right)\left( {z - 2i} \right)$
$ \Rightarrow T = \left[ {\left( {{z_1} + 2i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)\left( {{z_3} + 2i} \right)\left( {{z_4} + 2i} \right)} \right].\left[ {\left( {{z_1} - 2i} \right)\left( {{z_2} - 2i} \right)\left( {{z_3} - 2i} \right)\left( {{z_4} - 2i} \right)} \right]$
$= {\left[ {f\left( { - 2i} \right).f\left( {2i} \right)} \right]^4} = 1$
Biết $z_1$, ${z_2} = 5 - 4i$, $z_3$ là ba nghiệm của phương trình ${z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\left( {b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}} \right)$, trong đó $z_3$ là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức $w = {z_1} + 3{z_2} + 2{z_3}$ bằng?
Phương trình ${z^3} + b{z^2} + cz + d = 0$ có ba nghiệm $z_1$, ${z_2} = 5 - 4i$, $z_3$ trong đó $z_3$ là nghiệm có phần ảo dương nên ${z_1} \in \mathbb{R}$ và ${z_3} = {\bar z_2} = 5 + 4i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${z^3} + b{z^2} + cz + d = 0$ có ba nghiệm $z_1$, ${z_2} = 5 - 4i$, $z_3$ trong đó $z_3$ là nghiệm có phần ảo dương nên ${z_1} \in \mathbb{R}$ và ${z_3} = {\bar z_2} = 5 + 4i$
Suy ra $w = {z_1} + 3{z_2} + 2{z_3} = {z_1} + 25 - 4i$
Vậy phần ảo của $w$ bằng $-4$
Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 3$, $\left| {{z_2}} \right| = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {37} $. Xét số phức $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi$. Tìm $\left| b \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt ${z_1} = x + yi,\,{z_2} = c + di\left( {x,\,y,\,c,\,d \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {{z_1}} \right| = 3 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 9$, $\left| {{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow {c^2} + {d^2} = 16$
$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {37} \Rightarrow {\left( {x - c} \right)^2} + {\left( {y - d} \right)^2} = 37 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {c^2} + {d^2} - 2xc - 2yd = 37 \Leftrightarrow xc + yd = - 6$
Lại có: $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{x + yi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{xc + yd + \left( {yc - xd} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{xc + yd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{yc - xd}}{{{c^2} + {d^2}}}i = a + bi$
$ = - \frac{3}{8} + bi$
Mà $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \frac{9}{{16}} \Rightarrow {b^2} = \frac{9}{{16}} - {\left( { - \frac{3}{8}} \right)^2} = \frac{{27}}{{64}} \Rightarrow b = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$
Vậy $\left| b \right| = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$
Cho $A, B$ là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự $z_0, z_1$ khác 0 và thỏa mãn đẳng thức $z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}$. Hỏi ba điểm $O, A, B$ tạo thành tam giác gì ($O$ là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đủ nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do ${z_1} \ne 0$ nên chia hai vế của đẳng thức cho $z_1^2$, ta được:
${\left( {\frac{{{z_0}}}{{{z_1}}}} \right)^2} + 1 = \frac{{{z_0}}}{{{z_1}}} \Leftrightarrow \frac{{{z_0}}}{{{z_1}}} = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \Leftrightarrow {z_0} = \left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){z_1}$
Đặt $\left| {{z_1}} \right| = OA = a \Rightarrow OB = \left| {{z_0}} \right| = \left| {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right|\left| {{z_1}} \right| = a$
Lại có: ${z_0} - {z_1} = \left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){z_1} - {z_1} = \left( { - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){z_1} \Rightarrow AB = \left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| { - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right|\left| {{z_1}} \right| = a$
Vậy $\Delta OAB$ đều.
Tìm tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0$ có nghiệm phức $z_0$ thỏa $\left| {{z_0}} \right| = 2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Trường hợp ${z_0} \in \mathbb{R}$. Khi đó $\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z_0} = 2{\rm{ }}}\\\n{{z_0} = - 2}\n\end{array}} \right.$
Nếu ${z_0} = 2$ thì ${a^2} - 2a + 10 = 0$ không có nghiệm thực $a$.
Nếu ${z_0} = - 2$ thì ${a^2} - 2a - 2 = 0$ luôn có nghiệm thực $a$ và theo vi ét tổng hai nghiệm thực này bằng 2 (1).
+ Trường hợp phương trình ${z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0$ có nghiệm phức ${z_0} \notin \mathbb{R}$, thì ${\bar z_0}$ cũng là nghiệm phức của phương trình.
Vì $\left| {{z_0}} \right| = 2$ nên ${z_0}.{\bar z_0} = {\left| {{z_0}} \right|^2} = 4$
Theo định lý Vi ét ta có: ${z_0}.{\bar z_0} = \frac{{{a^2} - 2a}}{1} = {a^2} - 2a \Rightarrow {a^2} - 2a = 4 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 4 = 0\left( * \right)$
Phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt, theo Vi ét tổng hai nghiệm thực này bằng 2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0$ có nghiệm phức $z_0$ thỏa $\left| {{z_0}} \right| = 2$ là 4.
Trên tập phức cho phương trình ${z^2} + bz + c = 0$ với $b,c \in \mathbb{R}$. Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng $w + 3$ và $2w - 15i + 9$ với $w$ là một số phức. Tính $S = {b^2} - 2c$
Do $w + 3$ và $2w - 15i + 9$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + bz + c = 0$ nên thỏa:$\left\{ \begin{array}{l}\n{\left( {w + 3} \right)^2} + b\left( {w + 3} \right) + c = 0\\\n{\left( {2w - 15i + 9} \right)^2} + b\left( {2w - 15i + 9} \right) + c = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left( {2w - 15i + 9} \right)\left( {w + 3} \right) = c\\\n2w - 15i + 9 + w + 3 = - b\n\end{array} \right.$
Đặt $w = x + yi,\,x,y \in \mathbb{R}$, từ đó giải tìm $x,y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thuyết suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\n{\left( {w + 3} \right)^2} + b\left( {w + 3} \right) + c = 0\\\n{\left( {2w - 15i + 9} \right)^2} + b\left( {2w - 15i + 9} \right) + c = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left( {2w - 15i + 9} \right)\left( {w + 3} \right) = c\\\n2w - 15i + 9 + w + 3 = - b\n\end{array} \right.$
Đặt $w = x + yi,\,x,y \in \mathbb{R}$
Khi đó $w + 3 = x + 3 + yi;\,2w - 15i + 9 = 2x + 9 + \left( {2y - 15} \right)i$
Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {2w - 15i + 9} \right)\left( {w + 3} \right) = c\\\n2w - 15i + 9 + w + 3 = - b\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left( {2x + 9 + \left( {2y - 15} \right)i} \right)\left( {x + 3 + yi} \right) = c\\\n\left( {2x + 9 + \left( {2y - 15} \right)i} \right) + \left( {x + 3 + yi} \right) = - b\n\end{array} \right.$
Vì $b,c \in \mathbb{R}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {x + 3} \right)\left( {2y - 15} \right) + y\left( {2x + 9} \right) = 0\\\n2y - 15 + y = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - 6\\\ny = 5\n\end{array} \right.$
Suy ra $w = - 6 + 5i$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {2w - 15i + 9} \right)\left( {w + 3} \right) = c\\\n2w - 15i + 9 + w + 3 = - b\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nc = 34\\\nb = - 6\n\end{array} \right.$
Vậy $S = {b^2} - 2c = - 32$
Trong tập hợp các số phức, gọi $z_1, z_2$ là nghiệm của phương trình ${z^2} - z + \frac{{2017}}{4} = 0$, với $z_2$ có thành phần ảo dương. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - {z_1}} \right| = 1$. Giá trị nhỏ nhất của $P = \left| {z - {z_2}} \right|$ là:
Giải phương trình ${z^2} - z + \frac{{2017}}{4} = 0$ tìm $z_1, z_2$.
Nhớ: $\left| {z - {z_2}} \right| = \left| {\left( {z - {z_1}} \right) + \left( {{z_1} - {z_2}} \right)} \right| \ge \left| {{z_1} - {z_2}} \right| - \left| {z - {z_1}} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - z + \frac{{2017}}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt {2016} }}{2}i\\\n{z_2} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt {2016} }}{2}i\n\end{array} \right.$
Khi đó ${z_1} - {z_2} = i\sqrt {2016} $
Xét $\left| {z - {z_2}} \right| = \left| {\left( {z - {z_1}} \right) + \left( {{z_1} - {z_2}} \right)} \right| \ge \left| {{z_1} - {z_2}} \right| - \left| {z - {z_1}} \right| \Leftrightarrow P \ge \sqrt {2016} - 1$
Vậy ${P_{\min }} = \sqrt {2016} - 1$
Tìm giá trị lớn nhất của $P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|$ với $z$ là số phức thỏa mãn $\left| z \right| = 1$
Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, từ giả thuyết ta có: $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$
Nhớ: $\left| {u.v} \right| = \left| u \right|\left| v \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, ta có: $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$
Ta có: $\left| {{z^2} - z} \right| = \left| z \right|\left| {z - 1} \right| = \left| {z - 1} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {2 - 2a} $
$\left| {{z^2} + z + 1} \right| = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2} + a + bi + 1} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + a + 1 + \left( {2ab + b} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2ab + b} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {{a^2}{{(2a + 1)}^2} + {b^2}{{\left( {2a + 1} \right)}^2}} = \left| {2a + 1} \right|$ (vì ${a^2} + {b^2} = 1$)
Vậy $P = \left| {2a + 1} \right| + \sqrt {2 - 2a} $
TH1: $a < - \frac{1}{2}$
Suy ra: $P = - 2a - 1 + \sqrt {2 - 2a} = \left( {2 - 2a} \right) + \sqrt {2 - 2a} - 3 \le 4 + 2 - 3 = 3$ (vì $0 \le \sqrt {2 - 2a} \le 2$)
TH2: $a \ge - \frac{1}{2}$
Suy ra: $P = 2a + 1 + \sqrt {2 - 2a} = - \left( {2 - 2a} \right) + \sqrt {2 - 2a} + 3 = - {\left( {\sqrt {2 - 2a} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 3 + \frac{1}{4} \le \frac{{13}}{4}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {{z^2} - z} \right| + \left| {{z^2} + z + 1} \right|$ là bằng $\frac{{13}}{4}$, xảy ra khi $a = \frac{7}{{16}}$