Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi
Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${z^2} - 3z + 2m = 0$ không có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta < 0$
$\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{9}{8}$
Trong tập các số phức, cho phương trình ${z^2} - 6z + m = 0,\,m \in \mathbb{R}$ $(1)$. Gọi ${m_0}$ là một giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $. Hỏi trong khoảng $\left( {0;\,20} \right)$ có bao nhiêu giá trị ${m_0} \in \mathbb{N}$?
Điều kiện để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta = 9 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 9$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $ thì $(1)$ phải có nghiệm phức. Suy ra $\Delta < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta = 9 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 9$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $ thì $(1)$ phải có nghiệm phức. Suy ra $\Delta < 0 \Leftrightarrow m > 9$
Vậy trong khoảng $\left( {0;\,20} \right)$ có 10 số $m_0$
Trên tập số phức , cho phương trình: $a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)$. Chọn kết luận sai.
Trên tập số phức, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$ luôn có nghiệm
+ $\Delta > 0$ có hai nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
+ $\Delta < 0$ có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$
+ $\Delta = 0$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trên tập số phức, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$ luôn có nghiệm
+ $\Delta > 0$ có hai nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
+ $\Delta < 0$ có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$
+ $\Delta = 0$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$
Khi $b=0$ thì phương trình chắc chắn có hai nghiệm mà tổng bằng 0.
$\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì phương trình có hai nghiệm có môđun bằng nhau.
Nhưng nếu $\Delta > 0$ phương trình có hai nghiệm thực nên không chắc đã liên hợp.
Gọi $z_1$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$. Tìm tọa độ biểu diễn số phức $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}}$ trên mặt phẳng phức?
Giải phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và thay vào biểu thức $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 1 - 2i & \left( {TM} \right)\\\nz = 1 + 2i & \left( L \right)\n\end{array} \right.$
Suy ra $\frac{{7 - 4i}}{{{z_1}}} = \frac{{7 - 4i}}{{1 - 2i}} = 3 + 2i$
Điểm biểu diễn là $P\left( {3;\,\,2} \right)$
Gọi $z_1, z_2, z_3$ là các nghiệm của phương trình $i{z^3} - 2{z^2} + \left( {1 - i} \right)z + i = 0$. Biết $z_1$ là số thuần ảo. Đặt $P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|$ hãy chọn khẳng định đúng?
Giải phương trình $i{z^3} - 2{z^2} + \left( {1 - i} \right)z + i = 0$ tìm $z_2, z_3$ và thay vào biểu thức $P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $i{z^3} - 2{z^2} + \left( {1 - i} \right)z + i = 0 \Leftrightarrow \left( {z + i} \right)\left( {i{z^2} - z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = - i\\\ni{z^2} - z + 1 = 0\left( 1 \right)\n\end{array} \right.$
Vì $z_1$ là số thuần ảo nên $z_2, z_3$ là nghiệm của phương trình $(1)$
Ta có: ${\left( {{z_2} - {z_3}} \right)^2} = {\left( {{z_2} + {z_3}} \right)^2} - 4.{z_2}.{z_3} = - 1 + 4i$
$\Rightarrow \left| {{{\left( {{z_2} - {z_3}} \right)}^2}} \right| = \left| { - 1 + 4i} \right| = \sqrt {17} \Rightarrow P = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| = \sqrt[4]{{17}}$
Kí hiệu $z_1, z_2, z_3, z_4$ là bốn nghiệm của phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
Giải phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$ và tìm $z_1, z_2, z_3, z_4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z^2} = 2{\rm{ }}}\\\n{{z^2} = - 3}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = \pm \sqrt 2 {\rm{ }}}\\\n{z = \pm i\sqrt 3 }\n\end{array}} \right.$
$S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)$
Cho $a, b$ là các số thực thỏa phương trình ${z^2} + az + b = 0$ có nghiệm $z = 3 - 2i$, tính $S = a + b$.
Ta có phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm $x = {x_1}$ suy ra $f\left( {{x_1}} \right) = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì phương trình ${z^2} + az + b = 0$ có nghiệm $z = 3 - 2i$ nên ${\left( {3 - 2i} \right)^2} + a\left( {3 - 2i} \right) + b = 0$
$ \Leftrightarrow 5 - 12i + 3a - 2ai + b = 0 \Leftrightarrow \left( {3a + b + 5} \right) - \left( {2a + 12} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3a + b = - 5\\\n2a = - 12\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 6\\\nb = 13\n\end{array} \right.$
Vậy $S = a + b = - 6 + 13 = 7$
Biết phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ có hai nghiệm $z_1, z_2$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$
Do các hệ số của phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ đều là số thực nên $z_1, z_2$ là hai số phức liên hợp .
Nên $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do các hệ số của phương trình ${z^2} + 2017.2018z + {2^{2018}} = 0$ đều là số thực nên $z_1, z_2$ là hai số phức liên hợp
${z_1} = a + bi;\,{z_2} = a - bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt {{z_1}.{z_2}} = 2\sqrt {{2^{2018}}} = {2^{1010}}$
Trong tập các số phức, cho phương trình ${z^2} - 4z + {\left( {m - 2} \right)^2} = 0,{\rm{ }}m \in \mathbb{R} (1)$. Gọi $m_0$ là một giá trị để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$. Hỏi trong đoạn $\left[ {0;2018} \right]$ có bao nhiêu giá trị nguyên của $m_0$?
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow \Delta < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${z^2} - 4z + {\left( {m - 2} \right)^2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ khi và chỉ khi $\Delta \' < 0 \Leftrightarrow 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm > 4\\\nm < 0\n\end{array} \right.$
Do $m_0$ là số nguyên và ${m_0} \in \left[ {0;2018} \right] \Rightarrow {m_0} \in \left\{ {5;6;...;2018} \right\}$. Vậy có 2014 giá trị nguyên của $m_0$
Cho $m$ là số thực, biết phương trình ${z^2} + mz + 5 = 0$ có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm có phần ảo là 1. Tính modun của mỗi nghiệm
Để phương trình có hai nghiệm phức thì $\Delta < 0 $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\Delta = {m^2} - 20$
Để phương trình có hai nghiệm phức thì $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 5 < m < 2\sqrt 5 $
Khi đó phương trình có hai nghiệm là ${z_1} = - \frac{m}{2} + \frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2}i$ và ${z_2} = - \frac{m}{2} - \frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2}i$
Theo đề $\frac{{\sqrt {20 - {m^2}} }}{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 4$
Khi đó phương trình trở thành ${z^2} \pm 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = - 2 + i\\ {z_2} = - 2 - i \end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l} {z_1} = 2 + i\\ {z_2} = 2 - i \end{array} \right.$
Vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 $
Tính môđun của số phức $z$ biết $\left( {1 + 2i} \right){z^2} = 3 + 4i$
Rút gọn $\left( {1 + 2i} \right){z^2} = 3 + 4i$ để đưa về $z^2$
Gọi $z = a + bi,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$ suy ra ${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi $.
Từ đó giải hệ phương trình tìm $a, b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {1 + 2i} \right){z^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{3 + 4i}}{{1 + 2i}} \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{11}}{5} - \frac{2}{5}i\,\left( 1 \right)$
Đặt $z = a + bi,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: ${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi $ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} - {b^2} = \frac{{11}}{5}\\\n2ab = - \frac{2}{5}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n25{a^4} - 55{a^2} - 1 = 0\\\nb = - \frac{1}{{5a}}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} = \frac{{11 + 5\sqrt 5 }}{{10}}\\\n{b^2} = \frac{{ - 11 + 5\sqrt 5 }}{{10}}\n\end{array} \right.$
Khi đó $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt[4]{5}$
Cho $z$ là nghiệm phức của phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$. Tính $P = {z^4} + 2{z^3} - z$
Giải phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ và tìm nghiệm sau đó thay vào biểu thức $P = {z^4} + 2{z^3} - z$. ( Có thể tham khảo cách giải khác ở phần hướng dẫn giải)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $z$ là nghiệm phức của phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ nên ${z^2} + z + 1 = 0$
Do đó: $P = {z^4} + 2{z^3} - z = {z^2}\left( {{z^2} + z + 1} \right) + {z^3} - {z^2} - z = {z^3} - {z^2} - z$
$ = z\left( {{z^2} + z + 1} \right) - 2{z^2} - 2z = - 2\left( {{z^2} + z + 1} \right) + 2 = 2$
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $2{z^2} - 3z + 4 = 0$. Tính $w = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + i{z_1}{z_2}$
Ứng dụng vi ét
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $w = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + i{z_1}{z_2} \Leftrightarrow w = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1}{z_2}}} + i{z_1}{z_2}$
Theo vi ét: $\left\{ \begin{array}{l}\n{z_1} + {z_2} = \frac{3}{2}\\\n{z_1}{z_2} = 2\n\end{array} \right.$. Khi đó $w = \frac{3}{4} + 2i$
Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$
Gọi $z = x + y{\rm{i}}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ và thay vào phương trình $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$. Sau đó giải hệ và tìm $x, y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + y{\rm{i}}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $z + {\left| z \right|^2}.{\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0 \Leftrightarrow x + yi + \left( {{x^2} + {y^2}} \right){\rm{i}} - 1 - \frac{3}{4}{\rm{i}} = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 1 = 0\\\ny + {x^2} + {y^2} - \frac{3}{4} = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = - \frac{1}{2}\n\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 - \frac{1}{2}{\rm{i}}$
Vậy có 1 số phức thỏa mãn.
Kí hiệu $z_0$ là số phức có phần ảo âm của phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0$. Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức $w = i{z_0}$.
Giải phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0$, tìm $z_0$ và tính số phức $w$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phương trình $9{z^2} + 6z + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = - \frac{1}{3} - 2i}\\\n{z = - \frac{1}{3} + 2i}\n\end{array}} \right.$
Vậy ${z_0} = - \frac{1}{3} - 2i$. Khi đó $w = i{z_0} = - \frac{1}{3}i - 2{i^2} \Leftrightarrow w = 2 - \frac{1}{3}i$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là $\left( {2;\, - \frac{1}{3}} \right)$
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z $
Goị $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, thay vào phương trình để tìm a, b
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Goị $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Phương trình đã cho tương đương ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a - bi \Leftrightarrow - {b^2} + 2abi = \left( {{b^2} + a} \right) - bi$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{ - {b^2} = a + b}\\\n{2ab = - b}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = 0}\\\n{a = 0}\n\end{array}} \right.}\\\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{a = - \frac{1}{2}\left( {b \ne 0} \right)}\\\n{2{b^2} + 2b - 1 = 0}\n\end{array}} \right.}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = 0}\\\n{a = 0}\n\end{array}} \right.}\\\n{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{a = - \frac{1}{2}\left( {b \ne 0} \right)}\\\n{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}}\\\n{b = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}}\n\end{array}} \right.}\n\end{array}} \right.}\n\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy có 3 số phức thỏa mãn.
Gọi $A, B, C$ là các điểm biểu diễn các số phức $z_1, z_2 ,z_3$ là nghiệm của các phương trình ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0$. Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.
Giải phương trình ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0$ để tìm $A, B ,C$. Từ đó tính độ dài 3 cạnh của tam giác để xem tam giác này có tính chất gì để xác định công thức tính diện tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${z^3} - 6{z^2} + 12z - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z_1} = 1}\\\n{{z_2} = \frac{5}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}\\\n{{z_3} = \frac{5}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}\n\end{array}} \right.$
Suy ra $A\left( {1;0} \right),\,B\left( {\frac{5}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),\,C\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$
$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 3 $
$AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt 3 $
$BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 3 $
Vậy tam giác $ABC$ đều: ${S_{ABC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$
Cho phương trình ${z^2} + bz + c = 0\,\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)$. Tính tổng $S = b + c$ biết $z = 2 - 3i$ là nghiệm của phương trình đã cho.
Vì $z = 2 - 3i$ là nghiệm của phương trình ${z^2} + bz + c = 0\,\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)$ nên $f\left( {2 - 3i} \right) = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề ta có: ${\left( {2 - 3i} \right)^2} + b\left( {2 - 3i} \right) + c = 0 \Leftrightarrow - 5 - 12i + 2b - 3bi + c = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2b + c - 5} \right) - 3\left( {b + 4} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2b + c - 5 = 0\\\nb + 4 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nb = - 4\\\nc = 13\n\end{array} \right.$
Do đó: $S = b + c = 9$
Gọi $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là ba nghiệm của phương trình ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0$. Tính $M = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
Giải phương trình ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0$ và tìm $z_1, z_2, z_3$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 2z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 1\\\nz = - 1 + i\sqrt 6 \\\nz = - 1 - i\sqrt 6 \n\end{array} \right.$
$M = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = \left| 1 \right| + \left| { - 1 + i\sqrt 6 } \right| + \left| { - 1 - i\sqrt 6 } \right| = 1 + 2\sqrt 7 $
Gọi $z_1, z_2, z_3$ là ba nghiệm của phương trình ${z^3} - 2\left( {1 + i} \right){z^2} + \left( {9 + 4i} \right)z - 18i = 0$, trong đó $z_1$ là nghiệm có phần ảo âm.. Tính $M = \left| {{z_1}} \right|$
Phân tích ${z^3} - 2\left( {1 + i} \right){z^2} + \left( {9 + 4i} \right)z - 18i = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 2i} \right)\left( {{z^2} - 2z + 9} \right) = 0$. Giải và tìm $z_1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^3} - 2\left( {1 + i} \right){z^2} + \left( {9 + 4i} \right)z - 18i = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 2i} \right)\left( {{z^2} - 2z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 2i\\\nz = 1 + 2\sqrt 2 i\\\nz = 1 - 2\sqrt 2 i\n\end{array} \right.$
Vậy ${z_1} = 1 - 2\sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = 3$