Nghiệm của phương trình sau trên tập số phức:$ - 3{z^2} + 2z - 1 = 0$.
Sử dụng Casio
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phương trình: $ - 3{z^2} + 2z - 1 = 0$ có 2 nghiệm là ${z_1} = \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 2 }}{3}i;\,{z_2} = \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{3}i$
Căn bậc hai của $-7$ là:
Các căn bậc hai của số thực $a$ âm là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Căn bậc hai của $-7$ là $ \pm i\sqrt 7 $
Căn bậc hai của $-20$ là
Các căn bậc hai của số thực $a$ âm là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Căn bậc hai của $-20$ là $ \pm i2\sqrt 5 $
Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức $7{z^2} + 3z + 2 = 0$
Sử dụng Casio
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nghiệm của phương trình $7{z^2} + 3z + 2 = 0$ là ${z_1} = \frac{{ - 3}}{{14}} - \frac{{\sqrt {47} }}{{14}}i;\,{z_2} = \frac{{ - 3}}{{14}} + \frac{{\sqrt {47} }}{{14}}i$
Giả sử $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2\sqrt 2 z + 8 = 0$. Giá trị của $A = z_1^2{z_2} + {z_1}z_2^2$
Cách 1:Tìm nghiệm của phương trình và thay vào biểu thức để tính $A$
Cách 2: Ứng dụng hệ thức vi ét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 2\sqrt 2 z + 8 = 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\n{z_1} + {z_2} = 2\sqrt 2 \\\n{z_1}.{z_2} = 8\n\end{array} \right.$
Do đó: $A = z_1^2{z_2} + {z_1}z_2^2 = {z_1}{z_2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = 8.2\sqrt 2 = 16\sqrt 2 $
Gọi $z_1, z_2$ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình ${z^2} - 4z + 9 = 0$. Gọi $M, N$ là các điểm biểu diễn của $z_1, z_2$ trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài $MN$ bằng
Giải phương trình ${z^2} - 4z + 9 = 0$ từ đó suy ra tọa độ điểm M, N và tính độ dài MN
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 4z + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z_1} = 2 - \sqrt 5 i}\\\n{{z_2} = 2 + \sqrt 5 i}\n\end{array}} \right.$. Vậy $M(2; -\sqrt5), N(2; \sqrt5)$
$\overrightarrow {MN} = \left( {0;\,2\sqrt 5 } \right) \Rightarrow MN = 2\sqrt 5 $
Gọi $z_1, z_2$ lần lượt là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 4z + 5 = 0$. Giá trị của biểu thức $P = \left( {{z_1} - 2{z_2}} \right).\overline {{z_2}} - 4{z_1}$
Giải phương trình ${z^2} - 4z + 5 = 0$ từ đó tính giá trị biểu thức $P$.
Nhớ: Số phức $z=a+bi$ có $\overline z = a - bi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = 2 + i\\\n{z_2} = 2 - i\n\end{array} \right.$
Vậy $P = \left( {{z_1} - 2{z_2}} \right).\overline {{z_2}} - 4{z_1} = \left( {2 + i - 2\left( {2 - i} \right)} \right).\left( {2 + i} \right) - 4\left( {2 + i} \right) = - 15$
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2z + 4 = 0$. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{{z_1^2}}{{{z_2}}} + \frac{{z_2^2}}{{{z_1}}}$
Giải phương trình ${z^2} - 2z + 4 = 0$ để tìm $z_1, z_2$ và thay vào biểu thức $P$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 2z + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = 1 + \sqrt 3 i\\\n{z_2} = 1 - \sqrt 3 i\n\end{array} \right.$
Vậy $P = \frac{{z_1^2}}{{{z_2}}} + \frac{{z_2^2}}{{{z_1}}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^2}}}{{1 - \sqrt 3 i}} + \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^2}}}{{1 + \sqrt 3 i}} = - 4$
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$. Giá trị biểu thức $z_{_1}^4 + z_{_2}^4$ bằng:
Giải phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ tìm nghiệm $z_1, z_2$ và thay vào biểu thức $z_{_1}^4 + z_{_2}^4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = 1 + 2i\\\n{z_2} = 1 - 2i\n\end{array} \right.$
Vậy $z_{_1}^4 + z_{_2}^4 = {\left( {1 + 2i} \right)^4} + {\left( {1 - 2i} \right)^4} = - 14$
Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai nghiệm phức $2-3i$ và $2+3i$ làm nghiệm?
Xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét ${z^2} - 4z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = 2 - 3i\\\nz = 2 + 3i\n\end{array} \right.$. Vậy Phương án C đúng.
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình $2{z^2} + 6z + 5 = 0$ trong đó $z_2$ có phần ảo âm. Phần thực và phần ảo của số phức ${z_1} + 3{z_2}$ lần lượt là:
Giải phương trình $2{z^2} + 6z + 5 = 0$, từ đó suy ra $z_1, z_2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $2{z^2} + 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = - \frac{3}{2} + \frac{i}{2}\\\n{z_2} = - \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\n\end{array} \right.$
Suy ra: ${z_1} + 3{z_2} = - 6 - i$.
Vậy phần thực và phần ảo của số phức là $-6; -1$
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $5{z^2} - 8z + 5 = 0$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}{z_2}$
Giải phương trình $5{z^2} - 8z + 5 = 0$ tìm nghiệm $z_1, z_2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $5{z^2} - 8z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\\n{z_2} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\n\end{array} \right.$
$ \Rightarrow S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}{z_2} = \left| {\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i} \right| + \left| {\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i} \right| + \left( {\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i} \right)\left( {\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i} \right) = 3$
Cho $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 3z + 7 = 0$. Tính giá trị $P = {z_1}{z_2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)$
Ứng dụng vi ét
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ứng dụng hệ thức vi ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a} = - 3\\\n{z_1}{z_2} = \frac{c}{a} = 7\n\end{array} \right.$
Vậy $P = {z_1}{z_2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = - 21$
Kí hiệu $z_1, z_2, z_3. z_4$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$. Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
Đặt $t = {z^2}$ ta có phương trình ${t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 4\\\nt = - 3\n\end{array} \right.$
Chú ý: không cần điều kiện $t<0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {z^2}$ ta có phương trình ${t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 4\\\nt = - 3\n\end{array} \right.$
Với $t = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{z_1} = 2\\\n{z_2} = - 2\n\end{array} \right.$, với $t = - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{z_3} = \sqrt 3 .i\\\n{z_4} = - \sqrt 3 .i\n\end{array} \right.$
Do đó: $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = 2 + 2 + \sqrt 3 + \sqrt 3 = 4 + 2\sqrt 3 $
Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}$
Giải phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$, từ đó tính giá trị $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} + z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\\n{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\n\end{array} \right.$
Thày vào $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} = 0$
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức $1 + \sqrt 2 i$ và $1 - \sqrt 2 i$ là nghiệm?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét ${z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{z_1} = 1 + \sqrt 2 i}\\\n{{z_2} = 1 - \sqrt 2 i}\n\end{array}} \right.$
Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $3{z^2} - z + 1 = 0$. Tính $P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$
Giải phương trình $3{z^2} - z + 1 = 0$ tìm nghiệm phức $z_1, z_2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $3{z^2} - z + 1 = 0$ có hai nghiệm phức:
${z_1} = \frac{{1 + \sqrt {11} i}}{6} = \frac{1}{6} + \frac{{\sqrt {11} }}{6}i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
${z_1} = \frac{{1 - \sqrt {11} i}}{6} = \frac{1}{6} - \frac{{\sqrt {11} }}{6}i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
$P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
Ký hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - z + 6 = 0$. Tính $P = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}}$
Giải phương trình ${z^2} - z + 6 = 0$ và tìm nghiệm $z_1, z_2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} - z + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt {23} }}{2}i\\\nz = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt {23} }}{2}i\n\end{array} \right.$
Vậy $P = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{1}{6}$
Ký hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4 = 0$. Gọi $M, N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1, z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính $T = OM + ON$ với $O$ là gốc tọa độ
Giải phương trình ${z^2} + 4 = 0$, từ đó suy ra tọa độ $M, N$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{z_1} = - 2i\\\n{z_2} = 2i\n\end{array} \right.$
Suy ra $M\left( {0; - 2} \right);N\left( {0;2} \right)$ nên $T = OM + ON = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = 4$
Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $4{z^2} - 4z + 3 = 0$. Giá trị của biểu thức $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng:
Giải phương trình $4{z^2} - 4z + 3 = 0$, tìm nghiệm $z_1, z_2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $4{z^2} - 4z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nz = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i = {z_1}\\\nz = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i = {z_2}\n\end{array} \right.$
Khi đó: $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 $