Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}}$. Khi đó $f\left( 0 \right) + f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)$ có giá trị bằng
Giả sử $a + b = 2$, từ đó xét $f\left( a \right) + f\left( b \right) $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử hai số thực dương $a, b$ thỏa mãn: $a + b = 2$.
Ta có: $f\left( a \right) + f\left( b \right) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}}$
$ = \frac{{{2^a}{{.2}^b} + {{2.2}^a} + {2^a}{{.2}^b} + {{2.2}^b}}}{{\left( {{2^a} + 2} \right)\left( {{2^b} + 2} \right)}} = \frac{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {2^{a + b}} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = \frac{{4 + {{2.2}^a} + 4 + {{2.2}^b}}}{{4 + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1$
Do đó với $a + b = 2$ thì $f\left( a \right) + f\left( b \right) = 1$.
Xét tổng: $f\left( 0 \right) + f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)$
ta có: $ = f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{9}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{11}}{{10}}} \right)} \right] + f\left( 1 \right)$
$ = \frac{1}{3} + 9.1 + \frac{2}{4} = \frac{{59}}{6}$
Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, $\overrightarrow {AB} $ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng $y=0$. Các điểm $A, B, C$ lần lượt nằm trên đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$, $y = 2{\log _a}x$, $y = 3{\log _a}x$. Tìm $a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do diện tích hình vuông là 36 nên cạnh hình vuông là 6.
Gọi $A\left( {m;{{\log }_a}m} \right) \in y = {\log _a}x \Rightarrow B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right)$ và $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right)$.
Vì $B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right) \in y = 2{\log _a}x \Rightarrow {\log _a}m = 2{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (1)
Vì $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right) \in y = 3{\log _a}x \Rightarrow 6 + {\log _a}m = 3{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (2)
Giải (1) $ \Rightarrow m = 9$ thay vào (2) ta được $a = \sqrt[6]{3}$
Cho biểu thức $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }}$. Tính tổng sau: $S = \sqrt {2018} \left[ {f\left( { - 2017} \right) + f\left( { - 2016} \right) + ... + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + ... + f\left( {2018} \right)} \right]$
Tìm mối liên hệ giữa $f\left( x \right)$ và $f\left( {1 - x} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^{1 - x}} + \sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{2018 + {{2018}^x}\sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$
$f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }} + \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$$ = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$
Do $1 - 2018 = - 2017$ nên $f\left( { - 2017} \right) + f\left( {2018} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( { - 2016} \right) + f\left( {2017} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$.
Vậy $f\left( { - 2017} \right) + f\left( { - 2016} \right) + ... + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \sqrt {2018} $
Khi đó $S = 2018$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{m\ln x - 2}}{{\ln x - m - 1}}$ nghịch biến trên $\left( {{e^2}; + \infty } \right)$
Tính ${y\'}$ hàm số nghịch biến trên $\left( {{e^2}; + \infty } \right)$ nếu $y\' < 0$.
Cách 2. có thể đặt $t = \ln x$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{e^{m + 1}}} \right\}$
Ta có: $y\' = \frac{{ - {m^2} - m + 2}}{{x{{\left( {\ln x - m - 1} \right)}^2}}}$ ta có $x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right) \Rightarrow x > 0$ nên $x{\left( {\ln x - m - 1} \right)^2} > 0,\,\forall x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$
Theo yêu cầu bài toán ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} - m + 2 < 0\\\n{e^{m + 1}} \notin \left( {{e^2}; + \infty } \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nm > 1\\\nm < - 2\n\end{array} \right.\\\nm + 1 \le 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 2$.
Chú ý: có thể đặt $t = \ln x$
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên $m$ để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2m + 1 - x} }} + {\log _3}\sqrt {x - m} $ xác định trên $\left( {2;3} \right)$.
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\n2m + 1 - x > 0\\\nx - m > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx < 2m + 1\\\nx > m\n\end{array} \right.$.
Nếu $2m + 1 < m \Leftrightarrow m < - 1$ thì tập xác định của hàm số là $D = \emptyset $. Loại
Nếu $2m + 1 > m \Leftrightarrow m > - 1$ thì tập xác định của hàm số là $D = \left( {m;2m + 1} \right)$.
Để hàm số xác định trên $\left( {2;3} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\nm \le 2\\\n2m + 1 \ge 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \le 2\\\nm \ge 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m \le 2$.
Vậy $m = \left\{ {1;\,2} \right\}$
Chị Lan có 400 triệu mang đi gửi tiết kiệm ở hai ngân hàng khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Chị gửi 200 triệu ở ngân hàng A với lãi suất $2,1\% $/quý, 200 triệu đồng còn lại chị gửi vào ngân hàng B với lãi suất $0.73\% $/ một tháng. Sau khi gửi đúng một năm, chị rút một nửa số tiền ở ngân hàng A rồi gửi vào ngân hàng B. Hỏi sau đúng 2 năm kể từ lúc gửi đầu tiên, chị Lan thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến phần nghìn).
Công thức lãi kép: $M = {M_0}.{\left( {1 + r\% } \right)^n}$
Với :
+ M là số tiền nhận được sau n tháng.
+ ${M_0}$ là số tiền ban đầu.
+ r là lãi suất (%).
+ n kỳ hạn ( tháng hoặc quý tùy theo cách tính của ngân hàng).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giai đoạn 1: Sau đúng một năm, số tiền thu được ở mỗi ngân hàng:
Ngân hàng A: ${S_1} = {200.10^6}{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{12}} = 218.240.829,2$ đồng.
Ngân hàng B: ${P_1} = {200.10^6}{\left( {1 + 2,1\% } \right)^4} = 217.336.647,7$ đồng.
Giai đoạn 2: Sau đúng hai năm số tiền thu được ở mỗi ngân hàng:
Ngân hàng A: ${S_2} = \left( {{S_1} + \frac{{{P_1}}}{2}} \right){\left( {1 + 0,73\% } \right)^{12}} = 356.724.623,2$ đồng.
Ngân hàng B: ${P_2} = \frac{{{P_1}}}{2}{\left( {1 + 2,1\% } \right)^4} = 118.088.046,1$ đồng.
Vậy số tiền lãi thu được sau hai năm: ${S_2} + {P_2} - {400.10^6} = 74.812.669,4$ đồng
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = {7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}$ đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$.
Tính $y\'$, hàm số $y = {7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}$ đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$$ \Leftrightarrow y\' > 0,\,\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \left( {3{x^2} + 6x + \left( {9 - 3m} \right)} \right){7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}.\ln 7$
Hàm số $y = {7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}$ đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$$ \Leftrightarrow y\' > 0,\,\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$.
$3{x^2} + 6x + \left( {9 - 3m} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le {x^2} + 2x + 3,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right]$
$m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left( {{x^2} + 2x + 3} \right),{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le 3$.
Do $m$ dương nên $m = \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$
Cho các hàm số $y = {a^x};\,y = {\log _b}x;\,y = {\log _c}x$ có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng?
Dựa vào đồ thị
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\log _b}x$ là hàm số đồng biến nên $a, b>1$.
+ Hàm số $y = {\log _c}x$ là hàm số nghịch biến nên $0 < c < 1$.
Vẽ đồ thị $y = {\log _a}x$ bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = {a^x}$ qua đường thẳng $y = x$.
Vẽ đường thẳng $y=1$ cắt hai đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {\log _b}x$ lần lượt tại hai điểm A và B. Từ đồ thị ta thấy ${x_A} < {x_B} \Leftrightarrow a < b$.
Vậy $c < a < b$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2017{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}}$ và biểu thức $T = f\'\left( x \right) - 2xf\left( x \right) + \frac{1}{{2017}}f\left( 1 \right) - f\'\left( 1 \right)$. Chọn mệnh đề đúng?
${\left( {{e^u}} \right)^\prime } = u\'.{e^u}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\'\left( x \right) = 2017.{\left( {{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}}} \right)^\prime } = 2017.{\left( {{x^2} - 1} \right)^\prime }.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} = 2017.2x.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}}$
Ta có: $f\'\left( 1 \right) = 4034$ và $f\left( 1 \right) = 2017$
Do đó: $T = 2017.2x.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} - 2x.2017{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} + \frac{1}{{2017}}.2017 - 4034 = - 4033$
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy \le 4y - 1$. Giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y}$ là $a + \ln b$. Tính giá trị của $a.b$
$xy \le 4y - 1 \Leftrightarrow xy + 1 \le 4y \le 4{y^2} + 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le 4$. Đặt $t = \frac{x}{y}$ và tìm GTNN của hàm $f\left( t \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$x, y>0$
$xy \le 4y - 1 \Leftrightarrow xy + 1 \le 4y \le 4{y^2} + 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le 4$
Ta có: $P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y} = 12 + 6\frac{y}{x} + \ln \left( {\frac{x}{y} + 2} \right)$
Đặt $t = \frac{x}{y}$ $0 \le t \le 4$.
$P = f\left( t \right) = 12 + \frac{6}{t} + \ln \left( {t + 2} \right)$
$f\'\left( t \right) = - \frac{6}{{{t^2}}} + \frac{1}{{t + 2}} = \frac{{{t^2} - 6t - 12}}{{{t^2}\left( {t + 2} \right)}}$
$f\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 3 + \sqrt {21} \\\nt = 3 - \sqrt {21} \n\end{array} \right.$
Từ bảng biến thiên $GTNN\left( P \right) = \frac{{27}}{2} + \ln 6\,$ khi $t=4$
$ \Rightarrow a = \frac{{27}}{2},\,\,b = 6 \Rightarrow ab = 81$