Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là 20 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,8\% $/ tháng. Biết nếu khồn rút tiền ra thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi được cộng dồn vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi ít nhất bao nhiêu tháng, người đó lãnh được số tiền hơn 50 triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và lãi, giả sử trong thời gian này người đó không rút tiền và tiền lãi không thay đổi.
Công thức lãi kép: $M = {M_0}.{\left( {1 + r\% } \right)^n}$
Với :
+ M là số tiền nhận được sau n tháng.
+ ${M_0}$ là số tiền ban đầu.
+ r là lãi suất (%).
+ n kỳ hạn ( tháng hoặc quý tùy theo cách tính của ngân hàng).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử sau n tháng người đó thu được số tiền nhiều hơn 50 triệu đồng.
Ta có: ${20.10^6}{\left( {1 + 0,008} \right)^n} > {50.10^6}$$ \Leftrightarrow n > 114,994$.
Vậy sau ít nhất 115 tháng
Một người gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là A đồng với lãi suất $6\% $/năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được cộng gộp vào vốn để tính lãi cho năm sau. Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi là 100 triệu đồng . Hỏi số tiền ban đầu người đó gửi là bao nhiêu?
Công thức lãi kép: $M = {M_0}.{\left( {1 + r\% } \right)^n}$
Với :
+ M là số tiền nhận được sau n tháng.
+ ${M_0}$ là số tiền ban đầu.
+ r là lãi suất (%).
+ n kỳ hạn ( tháng hoặc quý tùy theo cách tính của ngân hàng).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\nn = 10\\\nr = 0,06\\\n{A_n} = A + 100\n\end{array} \right. \Rightarrow 100 + A = A{\left( {1 + 0,06} \right)^{10}} \Leftrightarrow 100 = A\left( {1,{{06}^{10}} - 1} \right) \Leftrightarrow A = \frac{{100}}{{{{1.06}^{10}} - 1}}$
$ \Leftrightarrow A = 126446597$ đồng.
Cho ba số thực dương $a, b, c$ khác 1. Đồ thị các hàm số $y = {a^x}$, $y = {b^x}$, $y = {c^x}$ được cho trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Dựa vào đồ thị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến nên $0 < a < 1$.
+ Hàm số $y = {b^x}$ và $y = {c^x}$ đồng biến nên $b, c>1$
+ Với $x>0$ ta luôn có ${b^x} > {c^x} \Leftrightarrow b > c$.
Vậy $a < c < b$
Đồ thị của hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào tiệm cận đứng, điểm đi qua
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$. Loại A và C.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2;\,1} \right)$. Loại B.
Chọn D
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \ln \left( {2.{{\rm{e}}^x} + m} \right)$, có $f\'\left( { - \ln 2} \right) = \frac{3}{2}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
${\left( {\ln u} \right)^\prime } = \frac{{u\'}}{u}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $2.{{\rm{e}}^x} + m > 0$
Ta có $f\'\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{e}}^x}}}{{2{{\rm{e}}^x} + m}}$
Theo đề bài ta có:
$f\'\left( { - \ln 2} \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{2{{\rm{e}}^{ - \ln 2}}}}{{2{{\rm{e}}^{ - \ln 2}} + m}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + m}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$
Vậy $m \in \left( { - \infty ;3} \right)$
Cho hàm số $y = \ln \left( {{e^x} + {m^2}} \right)$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $y\'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
${\left( {\ln u} \right)^\prime } = \frac{{u\'}}{u}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {m^2}}} \Rightarrow y\'\left( 1 \right) = \frac{e}{{e + {m^2}}}$
Khi đó $y\'\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{e}{{e + {m^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2e = e + {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt e $
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi ${x^2} - 2mx + 4 > 0\,\,\,\,\left( * \right)$
Để $(*)$ đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì $\Delta \' = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$
Cho $a, b, c$ là các số thực dương và khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm $y = {a^x},\,y = {b^x},\,y = {\log _c}x$
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Dựa vào hàm số đồng biến , nghịch biến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Hàm số $y = {\log _c}x$ nghịch biến nên $0 < c < 1$.
+ Hàm số $y = {a^x},\,y = {b^x}$ đồng biến nên $a, b>1$.
+ $\forall x > 0 \Rightarrow {a^x} > {b^x} \Leftrightarrow a > b$
Vậy $c < b < a.$
Đạo hàm của hàm số $y = {x^2}\left( {\ln x - 1} \right)$ là:
${\left( {u.v} \right)^\prime } = u\'v + v\'u$,
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y = {x^2}\left( {\ln x - 1} \right) \Rightarrow y\' = 2x\left( {\ln x - 1} \right) + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln x - 1} \right)$
Cho hàm số $y = \frac{{\ln x}}{x}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $x>0$
$y\' = \frac{{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}}{{{x^2}}}$$ = y\' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$, $y\' = 0 \Leftrightarrow \ln x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = e$
Vậy hàm số có một cực đại. Chọn A.
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {1 + {{\log }_2}x} + \sqrt[3]{{{{\log }_2}\left( {1 - x} \right)}}$
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\n1 + {\log _2}x \ge 0\\\n1 - x > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\nx \ge \frac{1}{2}\\\nx < 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right)$
Cho $a>0,a\neq1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} }} + {\log _3}\left( {x - 4} \right)$ là:
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$.
$\frac{A}{{\sqrt B }}$ xác định khi $B>0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - 4x + 5 > 0\\\nx - 4 > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \in \mathbb{R}\\\nx > 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4$.
Cho các hàm số $y = {\log _{2019}}x$, $y = {\left( {\frac{\pi }{e}} \right)^x}$, $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$, $y = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^x}$. Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {a^x}$:
+ Đồng biến nếu $a>1$.
+ Nghịch biến nếu $0 < a < 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{1}{2} < 1$ và $\frac{{\sqrt 5 }}{3} < 1$ nên hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ và $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ nghịch biến trên tập xác định.
Một người gửi ngân hàng lần đầu 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Hỏi sau một năm số tiền gốc và lãi người đó nhận được là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng triệu đồng).
Công thức lãi kép: $M = {M_0}.{\left( {1 + r\% } \right)^n}$
Với :
+ M là số tiền nhận được sau n tháng.
+ ${M_0}$ là số tiền ban đầu.
+ r là lãi suất (%).
+ n kỳ hạn ( tháng hoặc quý tùy theo cách tính của ngân hàng).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tiền người đó nhận được sau 6 tháng đầu là: $A = 100.{\left( {1,02} \right)^2}$ triệu đồng)
Người đó gửi thêm 100 triệu nên số tiền đang gửi là: $B = A + 100$ triệu đồng.
Số tiền người đó nhận được sau 1 năm ( đã bao gồm 6 tháng đầu) là: $T = B.{\left( {1 + 2\% } \right)^2} \simeq 212$ triệu đồng.
Xét các khẳng định sau:
1). Hàm số $y = {\log _3}x$ đồng biến trên tập xác định.
2). Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ nhận trục tung $Oy$ làm tiệm cận đứng.
3). Đồ thị các hàm số $y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$ và $y = {\log _{\sqrt 2 }}x$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
4). Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ là hàm chẵn.
5). Đồ thị các hàm số $y = {3^x}$, $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ đối xứng với nhau qua trục $Oy$
Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định trên?
Xét tứng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Hàm số $y = {\log _3}x$ có $a>3$ nên đồng biến trên tập xác định. Đúng.
+ Hàm số $y = {2^x}$ chỉ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng. Sai.
+ Đồ thị hàm số $y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$ và $y = {\log _{\sqrt 2 }}x$ không cắt nhau do ${\left( {\sqrt 2 } \right)^x} > x,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$, ${\log _{\sqrt 2 }}x < 1,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$. Sai
+ Hàm số $y = {a^x},{\rm{ }}\left( {a > 0,a \neq 1} \right)$ có ${a^{ - x}} \neq {a^x}$ nên không là hàm chẵn. Sai.
+ Hàm số $y = f\left( x \right) = {3^x}$ và $y = g\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ có ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = {3^{ - x}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$. Đúng.
Vậy mệnh đề 2, 3, 4 sai.
Cho hàm số $f(x) = {x^2}.{{\rm{e}}^{2x}}$. Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{f\'(x)}}{{{x^2} + x}}$.
${\left( {u.v} \right)^\prime } = u\'v + v\'u$, ${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f\'(x) = 2x.{{\rm{e}}^{2x}} + 2{x^2}.{{\rm{e}}^{2x}} = 2{{\rm{e}}^{2x}}\left( {{x^2} + x} \right)$
$ \Rightarrow y = \frac{{f\'(x)}}{{{x^2} + x}} = \frac{{2{{\rm{e}}^{2x}}\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^2} + x}} = 2{{\rm{e}}^{2x}} \Rightarrow y\' = 4{{\rm{e}}^{2x}}$
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\log _{2019}}{\left( {x - 2} \right)^4} + {\log _{2020}}\left( {9 - {x^2}} \right)$.
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\left( {x - 2} \right)^4} > 0\\\n9 - {x^2} > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ne 2\\ - 3 < x < 3\n\end{array} \right.$.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
Hàm số $y = {\log _2}\left( { - x} \right)$ có tiệm cận đứng là trục $Oy$.
Vậy A sai.
Tìm tập xác định của hàm số $y = \ln \left( {\sqrt {{x^2} + x - 2} - x} \right)$.
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$.
Hàm số $y = \sqrt a $ xác định khi $a \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $\left\{ \begin{array}{l}\n\sqrt {{x^2} + x - 2} - x > 0\\\n{x^2} + x - 2 \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + x - 2 > {x^2}\\\nx \ge 0\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + x - 2 \ge 0\\\nx < 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx > 2\\\nx \le - 2\n\end{array} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$