Hàm số $y = {8^{{x^2} + x + 1}}$ có đạo hàm là
${\left( {{a^u}} \right)^\prime } = {a^u}.\ln a.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = {8^{{x^2} + x + 1}}\left( {2x + 1} \right)\ln 8.$
Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right)$ là:
${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}$
Hàm số nào trong bốn hàm sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $a>1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{3}{{2 + \sin 2018}} > 1$, nên hàm số $y = {\left( {\frac{3}{{2 + \sin 2018}}} \right)^x}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số $y = {a^x},\,0 < a \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Lý thuyết.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ luôn đi qua điểm$\left( {0;\,1} \right)$ nên đồ thị hàm số luôn cắt trục tung.
Vậy đáp án C là sai.
Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _9}\left( {{x^2} + 1} \right)$.
${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 9}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)2.\ln 3}} = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 3}}$
Đồ thị trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
Dựa vào điểm đi qua, hàm số đồng biến, nghịch biến.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Hàm số nghịch biến nên $a<1$. Loại A, D.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1;\,3} \right)$. Loại B.
Chọn C
Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó
${{{\log }_a}x}$ đồng biến khi và chỉ khi $a>1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{e}{2} > 1$ nên hàm số $y = {\log _{\frac{{\rm{e}}}{2}}}x$ đồng biến trên tập xác định.
Đạo hàm của hàm số $y = {2019^x}$ là:
${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = {2019^x}.\ln 2019$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$. Tính $f’\left( 0 \right)$.
${\left( {u.v} \right)^\prime } = u’v + v’u$
${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f’\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){e^x} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = 2$
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
Tính ${y\'}$, hàm số nghịch biến trên tập xác định khi ${y\'}<0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{2}} \right)^{ - 2x + 1}} \Rightarrow y\' = - 2.{\left( {\frac{{\rm{e}}}{2}} \right)^{ - 2x + 1}}.\ln \frac{e}{2} < 0$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tính đạo hàm.
${\left( {\ln u} \right)^\prime } = \frac{{u\'}}{u}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow f\'\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}$
$f\'\left( x \right) = 0$ phương trình vô nghiệm. Nên đồ thị hàm số $y = f\'\left( x \right)$ không cắt trục hoành.
Tìm tập xác định của hàm số: $y = {\log _2}\left( {5 - 2x} \right)$
Hàm số $y={{{\log }_a}x}$ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định$ \Leftrightarrow 5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\,\frac{5}{2}} \right)$
Tập xác định của hàm số $y = \log \left( {2x - {x^2}} \right)$ là:
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$
Vậy TXĐ: $D = \left( {0;2} \right)$
Tính đạo hàm của hàm số $y = {3^x} + \log x$
${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a$, ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = {3^x}\ln 3 + \frac{1}{{x\ln 10}}$
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - \log _2^2x} $
Hàm số $y = \sqrt a $ xác định khi $a \ge 0$.
Hàm số $y = {\log _a}x$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\n\log _2^2x \le 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\ - 2 \le {\log _2}x \le 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\n\frac{1}{4} \le x \le 4\n\end{array} \right.$.$ \Leftrightarrow \left\{ {\frac{1}{4} \le x \le 4} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left[ {\frac{1}{4};4} \right]$
Cho hàm số $f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)$. Đạo hàm $f’\left( 1 \right)$ bằng?
${\left( {\ln u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{u}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f’\left( x \right) = \frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 2$
Cho hàm số $y = {2^x}{.5^x}$. Tính $f’\left( 0 \right)$.
${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y = {2^x}{.5^x} = {10^x}$
$y’ = {10^x}.\ln 10$
$ \Rightarrow f’\left( 0 \right) = {10^0}.\ln 10 = \ln 10$
Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{\tan x}}$.
${\left( {{a^u}} \right)^\prime } = {a^u}.\ln a.u\'$
${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = {2^{\tan x}}ln2{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{2^{\tan x}}ln2$
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị hàm số nào trong các hàm số nào sau đây?
Dựa vào tính chất của đồ thị, hàm số đồng biến, nghịch biến và điểm đi qua để tìm hàm số thích hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có dạng $y = {a^x}$. Loại A và D.
+ Đồ thị hàm số đồng biến nên $a>1$. Loại C.
Chọn B.
Hàm số $\left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}$ có đạo hàm là:
${\left( {u.v} \right)^\prime } = u\'v + v\'u$
${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\'{e^x} + ({e^x})\'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right){ = ^2}(2x - 2){e^x} + {e^x}({x^2} - 2x + 2) = {x^2}{e^x}$.