Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên xác định như hình vẽ. Biết rằng hàm số có đường tiệm cận đứng $x = {x_0}$, tiệm cận ngang là $y = {y_0}$ và biết ${x_0}{y_0} = 16.$ Hỏi $m$ bằng?
Tìm TCĐ, TCN từ đó suy ra giá trị m.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} y = - \infty$ nên $x = m$ là tiệm cận đứng.
${\lim y = 8}$ nên ${y_o} = 8$ là tiệm cận ngang.
Suy ra $8m = 16 \Leftrightarrow m = 2$
Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị $y = \frac{{2x + 1}}{{x - m}}$ ($m$ là tham số) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?
Tìm TCĐ, TCN và tìm giao điểm hai đường tiệm cận từ đó tính diện tích hình chữ nhật OAIB.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$x = m$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tiệm cận ngang của đồ thị giao với $Oy$ tại $A\left( {0;2} \right)$, tiệm cận đứng của đồ thị giao với $Ox$ tại $B\left( {m;0} \right)$. Hai đường tiệm cận giao nhau tại $I\left( {m;2} \right)$.
${S_{OAIB}} = OA.OB = 2.\left| m \right|$$\Rightarrow 2.\left| m \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ $y = \frac{{ - 3x + 1}}{{x - 2m}}$ có 2 đường tiệm cận và 2 đường tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 1.
Tìm TCĐ, TCN, giao điểm của TCN và trục Oy, giao điểm của TCĐ và trục Ox, từ đó tính diện tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-3$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2m \Leftrightarrow - 3.2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{6}.$
Tiệm cận ngang cắt trục $Oy$ tại $B\left( {0;{\rm{ }} - 3} \right) \Rightarrow OB = 3$.
Tiệm cận đứng cắt trục $Ox$ tại $A(2m;{\rm{ }}0) \Leftrightarrow OA = \left| {2m} \right|$.
Theo đề ta có: Diện tích hình chữ nhật bằng 1:
$\Rightarrow OA.OB = 1 \Leftrightarrow 3.\left| {2m} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2m} \right| = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n2m = \frac{1}{3}\\\n2m = - \frac{1}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = \frac{1}{6}{\rm{ }}\left( L \right)\\\nm = - \frac{1}{6}\n\end{array} \right..$
Vậy $m = - \frac{1}{6}$
Biết đồ thị hàm số $y = \frac{{(4a - b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b - 12}}$ nhận trục hoành, trục tung làm hai tiệm cận thì giá trị $a+b$ bằng:
Tìm TCĐ, TCN từ đó tìm $a, b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nên: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 4a - b = 0 \Rightarrow b = 4a$
Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng nên biểu thức ${x^2}{\rm{ + ax + }}b - 12$ nhận $x=0$ làm nghiệm$\Rightarrow b = 12 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a + b = 15$.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x - 1} + 2017}}{{\sqrt {{x^2} - 2mx + m + 2} }}$ có đúng ba đường tiệm cận?
Hàm số có 1 TCN từ đó định m để hàm số có 2 tiệm cận đứng (chú ý điều kiện).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$, đồ thị luôn có một tiệm cận ngang $y=0$.
Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì hàm số có 2 đường tiệm cận đứng$\Leftrightarrow$${x^2} - 2mx + m + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ lớn hơn 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\Delta \' > 0\\\n\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\\n\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{m^2} - m - 2 > 0\\\n{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\\n{x_1} + {x_2} - 2 > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\\\nm + 2 - 2m + 1 > 0\\\n2m - 2 > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 3$
Với giá trị nào của tham số $m$, đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1 - \sqrt {{x^2} + 3x} }}{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m - 2}}$ có đúng hai đường tiệm cận?
Hàm số có 1 TCN, để đồ thị có 2 đường tiệm cần thì cần có thêm đúng 1 tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nx \le - 3\\\nx \ge 0\n\end{array} \right.\\\nx \ne 1\\\nx \ne - m - 2\n\end{array} \right.$
Ta có: $y = \frac{{x + 1 - \sqrt {{x^2} + 3x} }}{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m - 2}} = \frac{{ - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + m + 2} \right)\left( {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 3x} } \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x + m + 2} \right)\left( {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 3x} } \right)}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN.
Hàm số có 2 tiệm cận khi có một tiệm cận đứng $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m - 2 \le - 3\\ - m - 2 \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm \ge 1\\\nm \le - 2\n\end{array} \right.$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{x + c}}$ có đồ thị như hình bên. Giá trị của $P = a + b + c$?
Dựa vào đồ thị tìm TCĐ, TCN từ đó tính P.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\nx \ne - c\\\nac - b \ne 0\n\end{array} \right.$
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng $x=-c$, tiệm cận ngang $y=a$.
Dựa vào đồ thị ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\nm > 0\\\n1 - m < 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1$
Khi $x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow \frac{b}{c} = - 2 \Rightarrow b = - 2c$.
Tiệm cận đứng: $x = 1 - m$, tiệm cận ngang $y = m$.
vậy $\left\{ \begin{array}{l} - c = 1 - m\\\na = m\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nc = m - 1\\\na = m\n\end{array} \right. \Rightarrow b = - 2c = - 2m + 2$
Nên $P = a + b + c = m - 2m + 2 + m - 1 = 1$
Cho hàm số $y = \frac{{\left( {2m - 1} \right)x - 3}}{{x - m}}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trong đường tròn tâm góc tọa độ O bán kính bằng $\sqrt {2019}$.
Tìm TCĐ, TCN, tìm tâm đồ thị. Dựa vào giả thuyết ta được $OI < \sqrt {2019} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có:
$y\' = \frac{{ - m\left( {2m - 1} \right) + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow - m\left( {2m - 1} \right) + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{3}{2}$
Đường tiệm cận đứng $x = m$, tiệm cận ngang $y = 2m - 1$.
Vậy tâm đối xứng là $I\left( {m\,;\,2m - 1} \right)$
Từ đồ thị và giả thuyết ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\ny = 2m - 1 > 0\\\nx = m > 0\\\nOI < \sqrt {2019} \n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm > \frac{1}{2}\\\nm > 0\\ - 19 \le m \le 20\,\,\n\end{array} \right.$.
Kết hợp với điều kiện trên ta được $m=1$. Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn.
Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$, $\left( {a\,,\,b\,,\,c\,,\,d \in\mathbb R } \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( {4 - {x^2}} \right) - 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị ta có:
$f\left( {4 - {x^2}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {4 - {x^2}} \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n4 - {x^2} = - 2\\\n4 - {x^2} = 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm \sqrt 6 \\\nx = 0\n\end{array} \right.$. Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có ba đường tiệm cận đứng.
Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( {4 - {x^2}} \right) = - \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có bốn đường tiệm cận.
Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ
Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\sqrt {1 - x} }}{{\left( {x - 3} \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right)} \right]}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\n1 - x \ge 0\\\n\left( {x - 3} \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right)} \right] \ne 0\n\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \le 1{\rm{ }}\left( * \right)\\\n\left( {x - 3} \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right)} \right] \ne 0\n\end{array} \right.$
Xét phương trình $\left( {x - 3} \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nf\left( x \right) = 0\\\nf\left( x \right) = - 3\n\end{array} \right.$
Từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra
$f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm $- 1 < {x_1} < {x_2} < 1 < {x_3}$;
$f\left( x \right) = - 3$ có hai nghiệm ${x_4} < 1$ và ${x_5} = 2$
Kết hợp với điều kiện (*) phương trình $\left( {x - 3} \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right)} \right] = 0$ có nghiệm ${x_1},{x_2},{x_5}$. Và ${x_1},{x_2},{x_5}$ không phải là nghiệm của tử nên hàm số $g\left( x \right)$ có 3 đường tiệm cận đứng.