Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = {e^{x - 1}}$, các trục tọa độ và phần đường thẳng $y = 2 - x$ với $x \ge 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong $y = {e^{x - 1}}$ và đường thẳng $y = 2 - x$: ${e^{x - 1}} = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$
Đường thẳng $y = 2 - x$ cắt trục hoành tại $x=2$
$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{x - 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \left. {\pi {e^{2x - 2}}} \right|_0^1 + \left. {\pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2x + 4} \right)} \right|_1^2 = \frac{{\pi \left( {5{e^2} - 1} \right)}}{{6{e^2}}}$
Xét hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên miền $D = \left[ {a,b} \right]$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Gọi $S$ là phần giới hạn bởi $(C)$ và các đường thẳng $x=a, x=b$. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong $S$ bằng $\int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f\'\left( x \right)} \right)}^2}} {\rm{d}}x} $. Theo kết quả trên, độ dài đường cong $S$ là phần đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ bị giới hạn bởi các đường thẳng $x=1, x= \sqrt{3}$ là $m - \sqrt m + \ln \frac{{1 + \sqrt m }}{{\sqrt n }}$ với $m, n \in\mathbb{Z}$ thì giá trị của ${m^2} - mn + {n^2}$ là bao nhiêu?
Tính đạo hàm từ đó suy ra độ dài đường cong $S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f\'\left( x \right) = \frac{1}{x}$. Khi đó độ dài đường cong $S$ là: $l = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}x{\rm{d}}x} $
Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} $ suy ra ${t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{d}}x$
Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;\,x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2.$
Suy ra $l = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {1 + \frac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right){\rm{d}}x} = \left. t \right|_{\sqrt 2 }^2 + \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^2$
$l = 2 - \sqrt 2 + \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{1}{3} - \ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right) = 2 - \sqrt 2 + \frac{1}{2}\ln \frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{3} = 2 - \sqrt 2 + \ln \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$
Mà $l = m - \sqrt m + \ln \frac{{1 + \sqrt m }}{{\sqrt n }}$ nên suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\nm = 2\\\nn = 3\n\end{array} \right.$. Nên ${m^2} - mn + {n^2} = 7$
Gọi tam giác cong $(OAB)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 2{x^2},\,y = 3 - x,\,y = 0$( tham khảo hình bên). Diện tích của $\left( {OAB} \right)$ là
Phương trình tọa độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi Parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 3 - x$
Phương trình tọa độ giao điểm: $2{x^2} = 3 - x \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \frac{3}{2}\n\end{array} \right.$
Suy ra tọa độ điểm $A(1;3)$ và $(d) \cap Ox = B(3;0)$. Khi đó ${S_{(OAB)}} = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^1 {2{x^2}{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {(3 - x){\rm{d}}x} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$
Tính diện tích $S$ của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + c$, các đường thẳng $x=1, x=2$ và trục hoành (phần gạch chéo) cho trong hình dưới đây?
Chia diện tích làm 2 phần và tính từng phần.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + c$, các đường thẳng $x=-1, x=2$ và trục hoành được chia làm hai phần.
Phần 1: Miền $D_{1}$ là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3$ \Rightarrow {S_1} = 3$
Phần 2: Miền $D_{2}$ gồm $\left\{ \begin{array}{l}\nf\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + c\\\ny = 1\\\nx = - 1;x = 2\n\end{array} \right.$
Dễ thấy $(C)$ đi qua 3 điểm $A\left( { - 1;1} \right),\,B\left( {0;3} \right),\,C\left( {2;1} \right)$ nên đồ thị $(C)$ có phương trình $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 3$ $ \Rightarrow {S_2} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 3 - 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{27}}{8}$
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = {S_1} + {S_2} = \frac{{51}}{8}$
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị $(C)$, biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A\left( { - 1;0} \right)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=0, x=2$ có diện tích bằng $\frac{{28}}{5}$( phần tô màu trong hình vẽ)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và hai đường thẳng $x=-1; x=0$ có diện tích bằng: A.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = 4a{x^3} + 2bx \Rightarrow d:y = \left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm: $\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( 1 \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = c\\ - 12a - 6b = 16a + 4b + c\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b - c = 0\left( 2 \right)\\\n28a + 10b + c = 0\left( 3 \right)\n\end{array} \right.$
Ta có diện tích phần tô màu là: $\frac{{28}}{5} = \int\limits_0^2 {\left[ {\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) - a{x^4} - b{x^2} - c} \right]{\rm{d}}x} $
$ \Leftrightarrow \frac{{28}}{5} = 4\left( { - 4a - 2b} \right) - \frac{{32}}{5}a - \frac{8}{3}b - 2c \Leftrightarrow \frac{{112}}{5}a + \frac{{32}}{3}b + 2c = - \frac{{28}}{5}\left( 4 \right)$
Giải hệ (2), (3) và (4) ta được: $a = 1,\,b = - 3,\,c = 2$
Khi đó: $\left( C \right):y = {x^4} - 3{x^2} + 2,\,d:y = 2\left( {x + 1} \right)$
Diện tích cần tìm: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left[ {{x^4} - 3{x^2} + 2 - 2\left( {x + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^4} - 3{x^2} - 2x} \right)dx = \frac{1}{5}} $
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$. Biết rằng diện tích hình phẳng $S_{1}, S_{2}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = - x - 1$ lần lượt là $M, m$. Tính tích phân $\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $M = {S_1} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - x - 1 - f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - x - 1} \right){\rm{d}}x - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 3}^1 = - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
$m = {S_2} = \int\limits_1^3 {\left( {f\left( x \right) + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_1^3 = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 6$
${S_1} - {S_2} = - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 6 \Leftrightarrow M - m = - 6 - \left( {\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)$
$ \Leftrightarrow M - m = - 6 - \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m - M + 6$
Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích $200{m^2}$. Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một Parabol bậc hai sao cho đỉnh của Parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử sân bóng có chiều dài $a$, chiều rộng $b$.
Chi phí trồng cỏ: $\frac{4}{3}\frac{a}{2}b.300 = \frac{2}{3}ab.300 = 40$ triệu đồng.
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$ và hai đường thẳng $y = 2,\,y = - x + 1$ (phần tô đậm hình vẽ). Tính diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là: $S = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - x + 1 - 2} \right){\rm{d}}x} $
$ = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\left( { - 1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - x - 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 5}^{ - 3} - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 1} = 3\ln 3$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f\'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$ và đồ thị hàm số $y = f\'\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;\,1} \right]$ và $\left[ {1;\,4} \right]$ lần lượt bằng 9 và 12. Cho $f\left( 1 \right) = 3$. Giá trị của biểu thức $f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right)$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thuyết ta có: $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = 9$ và $\int\limits_1^4 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = 12$.
Dựa vào đồ thị ta có: $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_{ - 2}^1 = - f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 2} \right)$
$ \Rightarrow - f\left( 1 \right) + f\left( { - 2} \right) = 9$
Tương tự ta có: $ - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right) = 12$
Như vậy $\left[ { - f\left( 1 \right) + f\left( { - 2} \right)} \right] - \left[ { - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)} \right] = - 3 \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) - 2f\left( 1 \right) = - 3$
$ \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) - 6 = - 3 \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) = 3$
Cho hàm số $y = {x^2} - mx\left( {0 < m < 4} \right)$ có đồ thị $(C)$. Gọi ${S_1} + {S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=4$ (phần tô đậm trong hình bên dưới). Giá trị của tham số $m$ sao cho ${S_1} = {S_2}$ là:
Giải phương trình tọa độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tọa độ giao điểm: ${x^2} - mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = m\left( {0 < m < 4} \right)\n\end{array} \right.$
${S_1} = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {m\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^m = \frac{{{m^3}}}{6}$
${S_2} = \int\limits_m^4 {\left| {{x^2} - mx} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_m^4 {\left( {{x^2} - mx} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - m\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_m^4 = \frac{{64}}{3} - 8m + \frac{{{m^3}}}{6}$
Ta có: ${S_1} = {S_2} \Leftrightarrow 8m - \frac{{64}}{3} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{8}{3}$