Cho hình $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = {x^2} - 4x + 4$, đường cong $y = {x^3}$ và trục hoành (phần in đậm trong hình vẽ). Tính diện tích $S$ của hình $(H)$
Giải phương trình tọa độ giao điểm và tính diện tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol $y = {x^2} - 4x + 4$ có đỉnh $I\left( {2;0} \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 4x + 4 = {x^3} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Ta có: $S = \int\limits_0^1 {{x^3}{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} = \frac{7}{{12}}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ là $S = \sqrt a - b$. Khi đó $a+b$ bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\rm{d}}x} = \left. {\sqrt {1 + {x^2}} } \right|_0^1 = \sqrt 2 - 1$. Vậy $a=2, b=1$.
Vậy $a+b=2+1=3$
Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right):y = x{{\rm{e}}^x}$, trục hoành và đường thẳng $x=a$ $( a > 0)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x{{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_0^a {x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = x\\\n{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\\nv = {{\rm{e}}^x}\n\end{array} \right.$
Vậy $S = \left. {x{{\rm{e}}^x}} \right|_0^a - \int\limits_0^a {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = a{{\rm{e}}^a} - \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^a = a{{\rm{e}}^a} - {{\rm{e}}^a} + 1$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, có đồ thị $y = f\'\left( x \right)$ như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
$\int\limits_a^b {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_a^b {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = BM - PM = BP$
Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
Dựa vào đồ thị $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$ nên $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $
Cho parabol $(P)$ có đồ thị như hình vẽ
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành.
Dựa vào đề bài tìm phương trình parabol.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình của parabol là: $y = {x^2} - 4x + 3$.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 1}\\\n{x = 3}\n\end{array}} \right.$
Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^3} \right| = \frac{4}{3}$
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 - \sin x} $, trục hoành và các đường thẳng $x = 0;\,x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo ra khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng:
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thể tích khối tròn xoay: $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sqrt {2 - \sin x} }^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin x} \right){\rm{d}}x} \left. { = \pi \left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left[ {\left( {\pi + \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 + \cos 0} \right)} \right] = \pi \left( {\pi - 1} \right)$
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):\,y = {x^2} - 4$, tiếp tuyến của $(P)$ tại $M\left( {2;\,0} \right)$ và trục $Oy$ là:
Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = f\'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = 2x,\,y\'\left( 2 \right) = 4$
Phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại $M\left( {2;\,0} \right)$
$y = 4\left( {x - 2} \right) = 4x - 8$
Diện tích hình phẳng: $S = \int_0^2 {\left| {{x^2} - 4 - \left( {4x - 8} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int_0^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_0^2} \right| = \frac{8}{3}$
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 5$ và các tiếp tuyến của $(P)$ tại $A\left( {1;2} \right)$ và $B\left( {4;5} \right)$
Viết phương trình tiếp tuyến tại $A, B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = 2x - 4$
Tiếp tuyến của $(P)$ tại $A$ và $B$ lần lượt là: $y = - 2x + 4;\,y = 4x - 11$
Giao điểm của hai tiếp tuyến là $M\left( {\frac{5}{2}; - 1} \right)$
Khi đó, dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_1^{\frac{5}{2}} {\left( {{x^2} - 4x + 5 + 2x - 4} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{5}{2}}^4 {\left( {{x^2} - 4x + 5 - 4x + 11} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{4}$
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2},\,y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ và trục hoành.
Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol
Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và trục hoành
Giải phương trình hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \frac{4}{3}\n\end{array} \right.$
Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ với trục hoành là $x=4$
Hoành độ giao điểm của parabol $y = {x^2}$ với trục hoành là: $x=0$.
Diện tích hình phẳng cần tìm:
$S = \int\limits_0^1 {{x^2}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} + \int\limits_1^4 {\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{1}{6}{x^2} + \frac{4}{3}x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{11}}{6}$
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng được tô đậm bên trong hình vẽ bên. Công thức tính $S$ là:
Dựa vào đồ thị để xem hình nằm bên trên hay bên dưới trục hoành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn $y = \sqrt {2 - {x^2}} $ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( { - \sqrt 2 ;0} \right)$ và $B\left( {1;1} \right)$ (phần tô đậm của hình vẽ)
Dựa vào đồ thị viết phương trình đường thẳng $d$, từ đó tính diện tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {1 + \sqrt 2 ;1} \right) \Rightarrow VTPT:\,\overrightarrow n = \left( { - 1;1 + \sqrt 2 } \right)$
Phương trình đường thẳng $d$: $y = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}$
Từ hình vẽ, diện tích cần tìm:
$S = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x - \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\sqrt {2 - {x^2}} {\rm{d}}x} - \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} = A - B$
Ta có: $B = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} = \left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}x} \right)\left| \begin{array}{l}\n1\\ - \sqrt 2 \n\end{array} \right. = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}$
Xét tích phân $A = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\sqrt {2 - {x^2}} {\rm{d}}x} $
Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = \sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t$. Đổi cận: $x = - \sqrt 2 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{2};\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}$
Khi đó: $A = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{tdt}}} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{dt}}} = \left( {t + \frac{1}{2}\sin \,2t} \right)\left| \begin{array}{l}\n\frac{\pi }{4}\\ - \frac{\pi }{2}\n\end{array} \right. = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2}$
Vậy $S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\pi - 2\sqrt 2 }}{4}$
Lưu ý: Trong trường hợp trắc nghiệm có thể Casio để tiết kiệm thời gian.
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \neq 0} \right)$ có đồ thị $(C)$. Biết rằng đồ thị $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số $y = f\'\left( x \right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành.
Dựa vào đồ thị tìm phương trình $f\'\left( x \right)$ từ đó tìm phương trình $f(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị suy ra $f\'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$
$f\left( x \right) = \int {f\'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } $
Do $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm nên:
$f\'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1$
Suy ra: $f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2 \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2$
Xét phương trình: ${x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 2\\\nx = 1\n\end{array} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tìm: $\int_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)dx} = \frac{{27}}{4}$
Cho đồ thị $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ sau đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi.
Dựa vào đồ thị tìm xem phần diện tích đang tính nằm bên trên hay bên dưới trục hoành, từ đó tìm công thức tính diện tích phù hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị ta có công thức tính diện tích là: $S = \int\limits_1^{ - 2} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \left| x \right|$, $y = {x^2} - 2$
Giải phương trình $\left| x \right| = {x^2} - 2 $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình: $\left| x \right| = {x^2} - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left| x \right| > \sqrt 2 }\\\n{{x^4} - 5{x^2} + 4 = 0}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = - 2}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.$
Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {\left| x \right| - {x^2} + 2} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{20}}{3}$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên trục hoành là:
Dựa vào đồ thị tìm xem phần diện tích đang tính nằm bên trên hay bên dưới trục hoành, từ đó tìm công thức tính diện tích phù hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị:
Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{x + 1}}$ và các đường thẳng $y=0, x=0, x=2$ . Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi hình phẳng $(H)$ quay quanh trục $Ox$
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra: $V = \pi \int\limits_0^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} = \left. { - \pi \left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{2\pi }}{3}$
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \ln \left( x \right)$, $x = {\rm{e}}$, $x = \frac{1}{{\rm{e}}}$ và trục hoành.
Giải phương trình hoành độ giao điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm:$\ln \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Diện tích hình phẳn $S = \int\limits_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^{\rm{e}} {\left| {\ln \left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^1 {\ln \left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^{\rm{e}} {\ln \left( x \right){\rm{d}}x} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( x \right)\\\n{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\\nv = x\n\end{array} \right.$
Vậy $S = \left[ {\left. {\ln \left( x \right).x} \right|_{\frac{1}{{\rm{e}}}}^1 - \int\limits_{\frac{1}{{\rm{e}}}}^1 {x.\frac{1}{x}{\rm{d}}x} } \right] + \left[ {\left. {\ln \left( x \right).x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {x.\frac{1}{x}{\rm{d}}x} } \right]$
$= \left\{ {\left[ {\ln \left( 1 \right).1 - \ln \left( {\frac{1}{{\rm{e}}}} \right).\frac{1}{{\rm{e}}}} \right] - \left. x \right|_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^1} \right\} + \left\{ {\left[ {\ln \left( {\rm{e}} \right).{\rm{e}} - \ln \left( 1 \right).1} \right] - \left. x \right|_{\rm{1}}^{\rm{e}}} \right\} = \left[ {1 - \left( {1 - \frac{1}{{\rm{e}}}} \right)} \right] + \left[ {{\rm{e}} - \left( {{\rm{e}} - 1} \right)} \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}} + 1$
Lưu ý: Có thể Casio để ra kết quả nhanh hơn.
Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ sau:
Diện tích $S$ của hình phẳng (phần tô đậm) là
Dựa vào đồ thị tìm xem phần diện tích đang tính nằm bên trên hay bên dưới trục hoành, từ đó tìm công thức tính diện tích phù hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị:
Diện tích hình phẳng: $S = - \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sin x,\,y = \cos x$ và các đường thẳng $x=0, x= \pi$ bằng?
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} $
Ta có: $\begin{array}{l}\n\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\n\n\end{array}$
$\frac{\pi }{4} + k\pi \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}$.
Biến đổi:
$S = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} $
$ = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - \cos x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left( {\sin x - \cos x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left( { - \cos x - \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}\n^{\frac{\pi }{4}}\\\n_0\n\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( { - \cos x - \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}\n^\pi \\\n_{\frac{\pi }{4}}\n\end{array} \right.} \right| = 2\sqrt 2 $