Kí hiệu $(H)$ là thình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x-{x^2}$ và $y = 0$. Tính thể tích vật tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$
Thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình $2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$
Thể tích của vật thể là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{16\pi }}{{15}}$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ $( a < b)$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức:
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $. Chọn A
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;{\mkern 1mu} b} \right]$. Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đường cong $y = f\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x=a, x=b$ $( a < b )$ được xác định bởi công thức nào sau đây?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $ chọn D
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0;x= \pi$, đồ thị hàm số $y = \cos x$ và trục $Ox$ là:
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {\left| {\cos x} \right|{\rm{d}}x} $. Chọn C
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \sqrt x $, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1; x=4$ khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} = V = \pi \int\limits_1^4 {x{\rm{d}}x} $
Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$, $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x=a, x=b$. Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây?
$V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{{\rm{e}}^x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-2, x=3$ có công thức tính là:
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{{\rm{e}}^x}} \right|{\rm{d}}x} $
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ${f_1}\left( x \right)$ và ${f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right]$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$ ( hình bên dưới). Công thức tính diện tích cua hình $(H)$ là
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $. Chọn A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành, các đường thẳng $x=1, x=2$ là
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {{x^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {\tan x} $ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;\,x = \frac{\pi }{4}$ quay quanh trục hoành là:
Thể tích khối tròn xoay $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} {\tan x{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}{\rm{d}}x} = - {\rm{\pi }}\left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} = \frac{{{\rm{\pi }}\ln 2}}{2}$
Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0, x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$ là:
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2},y = 2{x^2} - 2x$?
Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích hình phẳng.
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = 2{x^2} - 2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 0}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.$
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \frac{4}{3}$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=a, x=b$ ( như hình vẽ bên dưới)
Giả sử ${S_D}$ là diện tích hình phẳng $D$. Chọn phương án đúng trong các phương án sau:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị cắt trục hoành tại $O\left( {0;0} \right)$
Ta có: ${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3$ và $y = 4x$. Xác định mệnh đề đúng?
Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 3 = 4x \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 1}\\\n{x = 3}\n\end{array}} \right.$
Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} $
Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=2$. Quay hình $(H)$ quanh trục hoành ta được vật thể có thể tích bằng:
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_1^2 {{x^4}{\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5}} \right)\,} \right|_1^2 = \frac{\pi }{5}\left( {32 - 1} \right) = \frac{{31\pi }}{5}$
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị $y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {\ln x} $, trục hoành và đường thẳng $x = e$. Khi hình phẳng $D$ quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích $V$ được tính theo công thức
Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính thể tích.
$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ {1; + \infty } \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm $\left( {2x - 1} \right)\sqrt {\ln x} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{2}\, \notin D\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}}\\ {x = 1\, \in D\,\,\,\,{\rm{ }}} \end{array}} \right.$
Thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int\limits_1^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $
Diện tích hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ $(a < b)$ (phần tô đậm của hình vẽ) tính theo công thức:
$S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị hàm số cặt trục hoành tại điểm: $(c; 0)$
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {\left[ {0 - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x + \int\limits_c^b {\left[ {f\left( x \right) - 0} \right]{\rm{d}}x = } } - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x$ và $y = - {x^2} + 4x$ là:
Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 2x = - {x^2} + 4x \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 3\n\end{array} \right.$
Diện tích hình phẳng: $S = \int_0^3 {\left| {{x^2} - 2x + {x^2} - 4x} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^3 {\left| {2{x^2} - 6x} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^3 {\left( { - 2{x^2} + 6x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + 3{x^2}} \right)} \right|_0^3 = - 18 + 27 = 9$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=3$ là:
Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S = \int_0^3 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} + \int_2^3 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}x + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right){\rm{d}}x} } $
$ = \left. {\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 4x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 4x} \right)} \right|_2^3 = - \frac{8}{3} + 8 + 9 - 12 - \frac{8}{3} + 8 = \frac{{23}}{3}$
Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $(S)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x=a, x=b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $(S)$ xung quanh trục được tính bởi công thức nào dưới đây?
$V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $. Chọn A