Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: $\begin{cases}x=3+t\\y=3+3t\\z=2t\end{cases}$
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u}$ = [$\vec{n_{P}}$; $\vec{n_{d^{’}}}$]
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n_{P}}$(1; 1; -1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là: $\vec{n_{d^{’}}}$(1; 3; 2)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u}$ = [$\vec{n_{P}}$; $\vec{n_{d^{’}}}$] =( 5; -3; 2)
d đi qua điểm M (1; 2; -1)
Vậy phương trình đường thẳng d là $\begin{cases}x=1+5t\\y=2-3t\\z=-1+2t\end{cases}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0; điểm A(2;1; 1); B( -1; 2; 3) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và đi qua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0; 0) đồng thời song song với (P) và vuông góc với đường thẳng OB?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Mặt phẳng (Q) qua A(2; 1;1) và song song với (P).
Khi đó (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0
Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0
=> D = - 2
Vậy phương trình ( Q): x- 2y +2z - 2= 0
Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$(1; -2; 2)
+ Đường thẳng OB có vectơ chỉ phương là $\vec{OB}$( -1; 2; 3)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :
$\vec{u}$ = [$\vec{n}$; $\vec{OB}$ ] = ( -10; 5; 0) = - 5( 2; -1; 0)
Vậy phương trình của d là: $\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=0\end{cases}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; -1; -1) và B(1;2;0). Mặt phẳng (P): 3x- 2y+ z- 10= 0 . Đường thẳng d đi qua M( -1; 2;2) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?
Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là [$\vec{AB}$;$\vec{n_{P}}$ ]
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec{AB}$( 2; 3; 1)
+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}}$(3; -2; 1) .
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là [$\vec{AB}$;$\vec{n_{P}}$ ] = (5; 1; -13)
=> Phương trình đường thẳng d: $\begin{cases}x=-1+5t\\y=2+t\\z=2-13t\end{cases}$
=> Đường thẳng d’: $\begin{cases}x=-1+5t\\y=2+t\\z=2-13t\end{cases}$ song song với đường thẳng d( có cùng vectơ chỉ phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’) .
Chọn đáp án A.
Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0?
Viết phương trình AB.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vectơ AB→(1; -2; 2) làm vecto chỉ phương
=> Phương trình AB: $\begin{cases}x=1+t\\y=1-2t\\z=2t\end{cases}$
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t; 2t)
+ đường thẳng d nhận vectơ $\vec{MH}$( t; 1- 2t; 2t ) làm vecto chỉ phương .
+ Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\vec{n}$( 2; 1;1) làm vecto pháp tuyến.
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên $\vec{MH}$.$\vec{n}$ = 0
=> 2t + 1( 1- 2t) + 1.2t = 0
=> 2t+ 1= 0
=> t = $\frac{1}{2}$
=> H($\frac{3}{2}$;0;1)
+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vectơ $\vec{MH}$($\frac{1}{2}$;0;1) làm vectơ chỉ phương; chọn vectơ ( 1; 0; 2)
=> Phương trình đường thẳng d:$\begin{cases}x=1+t\\y=0\\z=2t\end{cases}$
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}$(-1; 1; -2) và $\vec{u_{2}}$(1; -2; 0)?
Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{1}}$ ; u2→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u}$= [$\vec{u_{1}}$; $\vec{u_{2}}$]
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là $\vec{u_{1}}$ ; $\vec{u_{2}}$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u}$= [$\vec{u_{1}}$; $\vec{u_{2}}$] = (-4; -2; 1)
d đi qua điểm A (2; -1; 1)
Vậy phương trình đường thẳng d là: $\begin{cases}x=2-4t\\y=-1-2t\\z=1+t\end{cases}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 2; 0); B( 2; 1;1) và C( 2; 3; 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng ∆: $\begin{cases}x=1-t\\y=-2+2t\\z=2\end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng d?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G( 1; 2;1) .
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là: H( 1- t; - 2+ 2t; 2) => $\vec{GH}$(- t; 2t- 4; 1)
Ta có vectơ chỉ phương của trục tung là $\vec{u_{Oy}}$(0; 1; 0) .Khi đó:
Do d⊥Oy => $\vec{GH}$ .$\vec{u_{Oy}}$ = 0
=> 0. ( -t) + 1(2t- 4)+ 0.1 = 0
=> 2t – 4 = 0
=> t = 2
=> tọa độ H( -1; 2; 2)
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G( 1; 2; 1) và VTCP $\vec{GH}$(-2; 0; 1)
=> Phương trình đường thẳng d: $\begin{cases}x=1-2t\\y=2\\z=1+t\end{cases}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M( 1;1;1) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2;0) và B(-1;3;3). Gọi ∆ là đưởng thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại N($\frac{-5}{7}$; $\frac{a}{7}$; $\frac{b}{7}$) . Tính a+ b ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1;2;0) và B( -1; 3;3) nên đường thẳng này nhận vectơ ( -2;1;3) làm vectơ chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng d $\begin{cases}x=1-2t\\y=2+t\\z=3t\end{cases}$
+ Gọi N là giao điểm của ∆ và d.
Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t)
=> $\vec{MN}$( - 2t; 1+ t; 3t – 1)
+ Do ∆⊥d => ∆⊥MN => $\vec{AB}.\vec{MN}$. = 0
=> - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0
+ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0
=> 14t - 2= 0
=> t = $\frac{1}{7}$
=> Tọa độ điểm N N($\frac{-5}{7}$; $\frac{15}{7}$; $\frac{3}{7}$)
=> a= 15 và b = 3 nên a+ b= 18
Chọn đáp án C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng $d_{1}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2}$ và $d_{2}$
$\begin{cases}x=1-3t\\y=-2+t\\z=-1-t\end{cases}$. Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- 3z – 2= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Tính AB?
Tìm tọa độ của A, B.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Gọi A là giao điểm của d1 và (P)
Tọa độ A( 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được:
2- t + 2( 1+ 3t) – 3( 1+ 2t) = 0
=> 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0
=> - t + 1= 0 => t= 1 nên A( 1; 4; 3)
+ Gọi B là giao điểm của d2 và( P)
Tọa độ B( 1-3t; - 2+ t; - 1- t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:
1- 3t + 2( - 2+ t) – 3( - 1- t) - 2 = 0
=>1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0
=> 2t – 2= 0 =>t = 1 nên B ( -2; - 1; -2)
$AB=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-4)^{2}+(-2-3)^{2}}=\sqrt{59}$
Vậy đáp án C đúng.
Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng $d_{1}$$\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$ và $d_{2}$ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$
Tìm tọa độ của A, B.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
- Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ ( 2t – 1; - t+ 1; t + 1)
Thay tọa độ A vào phương trình (P) có:
( 2t – 1) – ( - t+1) – 2(t+1)+ 3 = 0 ⇔ 2t – 1 + t- 1- 2t – 2 + 3 = 0
⇔ t - 1= 0 nên t=1 => A (1; 0; 2)
- Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ ( t+ 1; t+2; 2t – 1)
Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) có:
( t+ 1) – ( t+ 2) – 2 (2t – 1) + 3= 0 => - 4t + 4= 0 nên t = 1
=> B (2; 3; 1)
-Ta có $\vec{AB}$(1; 3; -1)
Vậy phương trình của d là: $\begin{cases}x=1+t\\y=3t\\z=2-t\end{cases}$
Cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ ; điểm A(-1;2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng ∆ tại điểm có tọa độ là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$(3; -2;1)
Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là B.
+ Vì B thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t)
=> $\vec{AB}$( 2+ 3t; - 3- 2t; t)
+ Do ∆⊥d => ∆⊥AB =>$\vec{AB}$ .$\vec{u}$ = 0
=> 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. t= 0
=> 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0
=> 14t+ 12= 0
=> t = $\frac{-6}{7}$
=> Tọa độ giao điểm của d và ∆ là B($\frac{11}{7}$; $\frac{5}{7}$;$\frac{-6}{7}$ )
Chọn đáp án A.