Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d: $\begin{cases}x=1+t\\y=2+3t\\z=3-t\end{cases}$ $d^{’}$: $\begin{cases}x=2-2t^{’}\\y=-2+t^{’}\\z=1+2t^{’}\end{cases}$
Tìm t và t’.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hệ phương trình $\begin{cases}1+t=2-2t^{’}(1)\\2+3t=-2+t^{’}(2)\\3-t=1+2t^{’}(3)\end{cases}$
Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và t’ = 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thỏa mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm t = -1, t’ = 1.
Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0; -1; 4)
Vậy đáp án A đúng.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
d: $\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+2t\\z=5+t\end{cases}$ $d^{’}$: $\begin{cases}x=1+3t^{’}\\y=-2+2t^{’}\\z=-1+2t^{’}\end{cases}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\vec{a}$=(2; 3; 1) và $\vec{a′}$=(3; 2; 2)
Vì $\vec{a}$ ≠ k$\vec{a′}$ suy ra d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau
Xét hệ phương trình: $\begin{cases}1+2t=1+3t^{’}\\-1+3t=-2+2t^{’}\\5+t=-1+2t^{’}\end{cases}$
Từ hai phương trình đầu ta được t = $\frac{-3}{5}$ và t′ = $\frac{-2}{5}$, thay vào phương trình cuối không thỏa mãn.
Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
d: $\begin{cases}x=1+at\\y=t\\z=-1+2t\end{cases}$ $d^{}$: $\begin{cases}x=1-t^{}\\y=2+2t^{}\\z=3-t^{}\end{cases}$
Hai đường thẳng này cắt nhau chỉ khi phương trình giao điểm của chúng có nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây đối với t và t’ có nghiệm:
$\begin{cases}1+at=1-t^{}\\t=2+2t^{}\\-1+2t=3-t^{}\end{cases}$
Từ hệ (2) và (3) ta suy ra t = 2; t′ = 0
Thay các giá trị trên của t và t’ vào phương trình (1) ta được: 1 + 2a <=> a = 0.
Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi a = 0.
Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α)
d:$\begin{cases}x=12+4t\\y=9+3t\\z=1+t\end{cases}$ và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
Lần lượt thay các biểu thức x, y, z theo tham số t từ phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (α), giải phương trình và tìm nghiệm t. Từ đó suy ra được số giao điểm của d và (α).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay các tọa độ x; y; z trong phương trình tham số của (d) vào phương trình (α) ta có:
3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) = 0
=> 26t + 78 = 0
=> t = -3
Tức là d ∩ (α) = M(0; 0; -2).
Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.
Vậy đáp án đúng là B.
Xét vị trí tương đối đường thẳng d và mặt phẳng (α)
d:$\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=1+2t\end{cases}$ và (α) : x + 3y + z = 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay các tọa độ x; y; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0
=> 0.t + 9 = 0
=>phương trình vô nghiệm.
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau hay d // (α).
Vậy d // (α).
Tính khoảng cách giữa đường thẳng
d:$\begin{cases}x=-3+2t\\y=-1+3t\\z=-1+2t\end{cases}$ và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 3 = 0.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng Δ.
Khi đó: d(Δ; (P)) = d(M; (P)).
Đường thẳng ∆ qua điểm M(-3; -1; -1) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$(2; 3;.2).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$(2; −2; 1).
Ta có M ∉ (α) và $\vec{u}$.$\vec{n}$=0 nên ∆ // (α).
Do vậy d(Δ,(α))=d(M,(α))= $\frac{\mid-6+2-1+3\mid}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{3}$
Vậy đáp án A đúng
Cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α)?
Để tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thực hiện các bước sau:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (α).
+ Tìm tọa độ giao điểm của d và (α) chính là tọa độ điểm H cần tìm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét đường thẳng d qua A và d ⊥ (α).
Khi đó H chính là giao điểm của d và (α).
Vectơ $\vec{n}$(1; 1; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên là $\vec{n}$ vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: $\begin{cases}x=1+t\\y=4+t\\z=2+t\end{cases}$ .
Thay tọa độ x; y; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:
3t + 6 = 0 => t = -2
=>H(-1; 2; 0).
Vậy đáp án B đúng.
Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d:$\begin{cases}x=2+t\\y=1+2t\\z=t\end{cases}$ . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d?
Gọi tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. A’ đối xứng với A qua d suy ra H chính là trung điểm của AA’.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho H(2 + t; 1 + 2t; t) ∈ d.
Ta có: $\vec{AH}$=(1+t; 1+2t; t) đường thẳng dcó vectơ chỉ phương $\vec{a}$ =(1; 2; 1)
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên d nên AH⊥d => $\vec{AH}$. $\vec{a}$= 0
=>1 + t + 2(1 + 2t) + t=0
=>6t + 3 = 0
=>t = −12
=>H($\frac{3}{2}$; 0; $\frac{-1}{2}$)
Vì A’ là điểm đối xứng của A qua d nên H là trung điểm cuả AA’, tọa độ điểm A là:
$\begin{cases}x=2x_{H}-x_{A}=2\\y=2y_{H}-y_{A}=0\\z=2z_{H}-z_{A}=-1\end{cases}$
Vậy A'(2; 0; -1)
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α):
d(M,(α)) = $\frac{\mid1+4+2-1\mid}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=2\sqrt{3}$
Vậy đáp án A đúng.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (B’D’C) ?
Từ dữ kiện đề bài, ta chọn một đỉnh bất kì của hình lập phương là gốc tọa độ. Khi đó, 3 cạnh của hình lập phương đi qua đỉnh đó chính là phương của các trục Ox, Oy, Oz.
Sau khi xây dựng xong hệ trục tọa độ, ta xác định tọa độ các đỉnh lúc này và tiến hành giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0 ; 1).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C(1; 1; 0).
$\vec{CB^{’}}$(0; −1; 1); $\vec{CD^{’}}$(−1; 0; 1).
Mặt phẳng (B’D’C) qua điểm C và nhận $\vec{n}$=[$\vec{CB^{’}}$ , $\vec{CD^{’}}$]=(−1; −1; −1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng:
x + y + z – 2 = 0
=> d(A,(B′D′C)) = $\frac{\mid0+0+0-2\mid}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
Vậy đáp án C đúng.