Cho số phức $z$ thỏa mãn $\frac{{1 + i}}{z}$ là số thực và $\left| {z - 2} \right| = m,\,m \in \mathbb{R}$. Gọi $m_{0}$ là một giá trị của tham số $m$ để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó
Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Dựa vào dữ kiện bài toán tìm mối liên hệ giữa $a$ và $b$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Đặt $w = \frac{{1 + i}}{z} = \frac{{1 + i}}{{a + bi}} = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\left[ {a + b + \left( {a - b} \right)i} \right] = \frac{{a + b}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Do $w$ là số thực nên $a = b\,\,\,\left( 1 \right)$
Mặt khác $\left| {a - 2 + bi} \right| = m \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)$
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: ${\left( {a - 2} \right)^2} + {a^2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{a^2} - 4a + 4 - {m^2} = 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Để có đúng một số phức thỏa mãn thì PT $(3)$ có nghiệm $a$ duy nhất:
$ \Leftrightarrow \Delta \' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {4 - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m = \sqrt 2 \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right)$
Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left| {z - m} \right| = 6$ và $\frac{z}{{z - 4}}$ là số thuần ảo. Tính tổng các phần tử $S$
Gọi $z = x + iy,\,x,y \in \mathbb{R}$
Dựa vào dữ kiện bài toán đưa về ẩn $x, y$. Từ đó tìm giá trị tham số $m$.
Nhớ: Số phức $z$ thuần ảo khi phần thực bằng 0.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + iy,\,x,y \in \mathbb{R}$
Ta có: $\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{x + iy}}{{x - 4 + iy}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x - 4 - iy} \right)}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) + {y^2} - 4iy}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}}}$
$\frac{z}{{z - 4}}$ là số thuần ảo khi $x\left( {x - 4} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4$
Mà $\left| {z - m} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 36$
Ta được hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 36\\\n{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left( {4 - 2m} \right)x = 36 - {m^2}\\\n{y^2} = 4 - {\left( {x - 2} \right)^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}}\\\n{y^2} = 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2}\n\end{array} \right.$
Theo yêu cầu bài toán: $ \Leftrightarrow 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2$ hoặc $- 2 = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2$
$ \Leftrightarrow m = 10$ hoặc $m = - 2$ hoặc $m = \pm 6$
Vậy tổng $10 - 2 + 6 - 6 = 8$
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i$. Số phức $w = \frac{5}{{iz}}$ có điểm biểu diễn là điểm nào trong hình dưới đây?
Gọi $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi$
Dựa vào dữ kiện bài toán tìm số phức $z$, từ đó tìm số phức $w$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi$
Ta có: $z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i \Leftrightarrow a + bi - \left( {2 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = 1 - 9i$
$ \Leftrightarrow a + bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i \Leftrightarrow - a - 3b - 3ai + 3bi = 1 - 9i$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b = 1\\ - 3a + 3b = - 9\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 2\\\nb = - 1\n\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - i$
Số phức $w = \frac{5}{{iz}} = \frac{5}{{i\left( {2 - i} \right)}} = 1 - 2i$
Vậy điểm biểu diễn số phức $w$ là điểm $A\left( {1; - 2} \right)$
Cho số phức $z = a + bi,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} + 5 - i$. Tính $P = a + b.$
Dựa vào PT $\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} + 5 - i$ tìm $a, b$. Có thể dùng tính chất hai số phức bằng nhau bằng cách gọi $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ và thay vào phương trình hoặc tham khảo bài hướng dẫn giải phía dưới
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} + 5 - i \Leftrightarrow \left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{{\left( {1 + i\sqrt 7 } \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 5 - i$
$ \Leftrightarrow \left( {3\left| z \right| - 5} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i = \frac{{\left( {1 + i\sqrt 7 } \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {3\left| z \right| - 5} \right)^2} + {\left( {1 - \left| z \right|} \right)^2} = \frac{{8{{\left| z \right|}^2}}}{{{{\left| z \right|}^4}}}$
$ \Leftrightarrow 10{\left| z \right|^4} - 32{\left| z \right|^3} + 26{\left| z \right|^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 2} \right)\left( {5{{\left| z \right|}^3} - 6{{\left| z \right|}^2} + \left| z \right| + 2} \right) = 0$
$ \Rightarrow \left| z \right| = 2$. PT $5{\left| z \right|^3} - 6{\left| z \right|^2} + \left| z \right| + 4 = 0$ vô nghiệm do $\left| z \right| \ge 0$.
Với $\left| z \right| = 2$ thay vào biểu thức $\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} + 5 - i$ ta được:
$1 - i = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{z} \Leftrightarrow z = \frac{{1 + i\sqrt 7 }}{{1 - i}} \Leftrightarrow z = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} + \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\\\nb = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\n\end{array} \right.$
Vậy $a + b = 1$
Cho số phức $z$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức $\varpi = \frac{i}{{\overline z }}$
Dựa vào giả thuyết để tìm xem số phức $\omega $ nằm ở góc phần tư thứ mấy và chọn đáp án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}$
Từ giả thuyết, điểm biểu diễn số phức $z$ nằm ở góc phần tư thứ nhất nên $a, b>0$
Ta có: $\varpi = \frac{i}{{\overline z }} = \frac{i}{{a - bi}} = \frac{{i\left( {a + bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Do $a, b>0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0\\ \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow $ điểm biểu diễn số phức $\omega $ nằm ở góc phần tư thứ hai
Cho hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 3$, $\left| {{z_2}} \right| = 4$ và $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {37} $. Xét số phức $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi$, tìm $\left| b \right|$
Gọi ${z_1} = x + yi,\,{z_2} = c + di\left( {x,\,y,\,c,\,d \in \mathbb{R}} \right)$
Phân tích từng dữ kiện bài toán, tìm mỗi liên hệ giữa $x, y, c, d$.
Nhớ: $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi ${z_1} = x + yi,\,{z_2} = c + di\left( {x,\,y,\,c,\,d \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {{z_1}} \right| = 3 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 9$, $\left| {{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow {c^2} + {d^2} = 16$
$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {37} \Rightarrow {\left( {x - c} \right)^2} + {\left( {y - d} \right)^2} = 37 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {c^2} + {d^2} - 2xc - 2yd = 37 \Leftrightarrow xc + yd = - 6$
Xét $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{x + yi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{xc + yd + \left( {yc - xd} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{xc + yd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{yc - xd}}{{{c^2} + {d^2}}}i = a + bi$
$ = - \frac{3}{8} + bi$
Mà $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \frac{9}{{16}} \Rightarrow {b^2} = \frac{9}{{16}} - {\left( { - \frac{3}{8}} \right)^2} = \frac{{27}}{{64}} \Rightarrow b = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$. Vậy $\left| b \right| = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1} \right| = 2$. Giá trị lớn nhất của môđun số phức $z$ là:
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$
Nhớ: Nếu $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$ thì $\left| z \right| = OM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {\frac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - iz + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z + i} \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4$
Vậy tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( {0;\, - 1} \right)$, bán kính $R=2$.
Ta có $\left| z \right| = OM$
Do đó giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ khi $OM$ lớn nhất nghĩa là $O, I, M$ thẳng hàng$ \Rightarrow \max \left| z \right| = 3$
Cho các số phức $z_1, z_2, z_3$ thỏa mãn 2 điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017$ và ${z_1} + {z_2} + {z_3} \ne 0.$ Tính $P = \left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|.$
$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{z_1}{{\bar z}_1} = {2017^2}\\\n{z_2}{{\bar z}_2} = {2017^2}\\\n{z_3}{{\bar z}_3} = {2017^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{{\bar z}_1} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}\\\n{{\bar z}_2} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}}\\\n{{\bar z}_3} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}\n\end{array} \right..$
Tính biểu thức $P$ bằng cách bình phương hai vế: ${P^2} = {\left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|^2} = \left( {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right)\left( {\frac{{{{\bar z}_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_2}{{\bar z}_3} + {{\bar z}_3}{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2} + {{\bar z}_3}}}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{z_1}{{\bar z}_1} = {2017^2}\\\n{z_2}{{\bar z}_2} = {2017^2}\\\n{z_3}{{\bar z}_3} = {2017^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{{\bar z}_1} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}\\\n{{\bar z}_2} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}}\\\n{{\bar z}_3} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}\n\end{array} \right..$
Xét ${P^2} = {\left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|^2} = \left( {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right)\left( {\frac{{{{\bar z}_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_2}{{\bar z}_3} + {{\bar z}_3}{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2} + {{\bar z}_3}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right)\left( {\frac{{\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}}}{{\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}}}} \right) = {2017^2}.$
Vậy $P = 2017.$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $(H)$ là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\frac{z}{{16}}$ và $\frac{{16}}{{\overline z }}$ đều thuộc đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$. Tính diện tích $S$ của $(H)$.
Từ giả thuyết $\frac{z}{{16}}$ và $\frac{{16}}{{\overline z }}$ đều thuộc đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$, tìm khoảng giới hạn của hình $(H)$. Từ đó tính diện tích $S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\frac{z}{{16}} = \frac{x}{{16}} + \frac{y}{{16}}i$, $\frac{{16}}{{\overline z }} = \frac{{16}}{{x - yi}} = \frac{{16x}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{16y}}{{{x^2} + {y^2}}}i$
Vì $\frac{z}{{16}}$ và $\frac{{16}}{{\overline z }}$ có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ nên:
$\left\{ \begin{array}{l}\n0 \le \frac{x}{{16}} \le 1\\\n0 \le \frac{y}{{16}} \le 1\\\n0 \le \frac{{16x}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 1\\\n0 \le \frac{{16y}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n0 \le x \le 16\\\n0 \le y \le 16\\\n0 \le 16x \le {x^2} + {y^2}\\\n0 \le 16y \le {x^2} + {y^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n0 \le x \le 16\\\n0 \le y \le 16\\\n{\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} \ge 64\\\n{x^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} \ge 64\n\end{array} \right.$
Suy ra $(H)$ là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {8;\,0} \right)$, bán kính ${R_1} = 8$ và $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {0;\,8} \right)$, bán kính ${R_2} = 8$.
Gọi ${S\'}$ là diện tích của đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$
Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: ${S_1} = 2\left( {\frac{1}{4}S\' - {S_{OEJ}}} \right) = 2\left( {\frac{1}{4}.\pi {{.8}^2} - \frac{1}{2}.8.8} \right)$
Vậy diện tích $S$ của $(H)$ là: $S = {16^2} - \pi {.8^2} + 2.\left( {\frac{1}{4}.\pi {{.8}^2} - \frac{1}{2}.8.8} \right) = 256 - 64\pi + 32\pi - 64 = 192 - 32\pi = 32\left( {6 - \pi } \right)$
Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa $\left| {\frac{{\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i}}{{z - 2 - i}}} \right| = 13$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nz = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\\\nz \ne 2 + i\n\end{array} \right.$
Nhớ: $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = a \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = a.\left| {{z_2}} \right|,\,\left( {a \in \mathbb{R}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nz = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\\\nz \ne 2 + i\n\end{array} \right.$
Ta có: $\left| {\frac{{\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i}}{{z - 2 - i}}} \right| = 13 \Leftrightarrow \left| {\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right|$
$ \Leftrightarrow \left| {\left( {12 - 5i} \right)\left( {z + 1 + i} \right)} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {12 - 5i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right|$
$ \Leftrightarrow 13\left| {z + 1 + i} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1 + i} \right| = \left| {x + yi - 2 - i} \right|$
$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 6x + 4y - 3 = 0$. (thỏa điều kiện $z \ne 2 + i$)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $6x + 4y - 3 = 0$