Kết quả của phép tính $\frac{{{{(2 - i)}^2}{{(2i)}^4}}}{{1 - i}}$ là:
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{{{{(2 - i)}^2}{{(2i)}^4}}}{{1 - i}} = \frac{{\left( {3 - 4i} \right).16}}{{1 - i}} = \frac{{48 - 64i}}{{1 - i}} = \frac{{\left( {48 - 64i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{{1^2} + {1^2}}} = \frac{{112 - 16i}}{2} = 56 - 8i$
Rút gọn số phức$z = \frac{{3 - 2i}}{{1 - i}} - \frac{{1 + i}}{{3 + 2i}}$ ta được:
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = \frac{{3 - 2i}}{{1 - i}} - \frac{{1 + i}}{{3 + 2i}} = \frac{{\left( {3 - 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}} = \frac{{55}}{{26}} + \frac{{11}}{{26}}i$
Tính môđun nghịch đảo của số phức $z = {\left( {1 - 2i} \right)^2}$
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = {\left( {1 - 2i} \right)^2} = 1 - 4i - 4 = - 3 - 4i$
$\frac{1}{z} = \frac{1}{{ - 3 - 4i}} = - \frac{3}{{25}} + \frac{4}{{25}}i$
Khi đó $\left| {\frac{1}{z}} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 3}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{{25}}} \right)}^2}} = \frac{1}{5}$
Nếu số phức $z$ có số phức nghịch đảo và số phức liên hợp bằng nhau thì:
Số phức $z = x + yi$ có số phức liên hợp $z = x - yi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Theo đề ta có $\frac{1}{{x + yi}} = x - yi \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1$
Cho số phức $z$ thỏa $\left( {1 + i} \right)z = 3 - i$. Tìm phần ảo của số phức $z$.
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{3 - i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i$
Vậy phần ảo của số phức $z$ là $-2$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $z\left( {1 + i} \right) + 12i = 3$. Tìm phần ảo của số phức $\overline z $
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z\left( {1 + i} \right) + 12i = 3 \Leftrightarrow z = \frac{{3 - 12i}}{{1 + i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {3 - 12i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} \Leftrightarrow z = - \frac{9}{2} - \frac{{15}}{2}i \Rightarrow \overline z = - \frac{9}{2} + \frac{{15}}{2}i$
Vậy phần ảo của số phức $z$ là $\frac{{15}}{2}$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + 2i} \right)z = \left( {1 + 2i} \right) - \left( { - 2 + i} \right)$. Môđun của số phức $z$ bằng:
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {1 + 2i} \right)z = \left( {1 + 2i} \right) - \left( { - 2 + i} \right) \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)z = 3 + i \Leftrightarrow z = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = 1 - i$
Vậy $\left| z \right| = \sqrt 2 $
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline z = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$. Tìm môđun của $z - i.\overline z $
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overline z = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = \frac{{ - 8}}{{1 - i}} = - 4 - 4i \Rightarrow z = - 4 + 4i$
Do đó: $\left| {z - i.\overline z } \right| = \left| { - 4 + 4i - i\left( { - 4 - 4i} \right)} \right| = \left| { - 8 + 8i} \right| = 8\sqrt 2 $
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 - i} \right)z - 2\bar z = 1 + 9i$. Tính môđun của số phức $w = \frac{{1 + i\sqrt 3 }}{z}$
Số phức $z=a+bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left( {1 - i} \right)z - 2\bar z = 1 + 9i \Leftrightarrow \left( {1 - i} \right)\left( {a + bi} \right) - 2\left( {a - bi} \right) = 1 + 9i \Leftrightarrow b - a + \left( {3b - a} \right)i = 1 + 9i$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nb - a = 1\\\n3b - a = 9\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 3\\\nb = 4\n\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 + 4i$
$ \Rightarrow w = \frac{{1 + i\sqrt 3 }}{z} = \frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{3 + 4i}} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{25}} + \frac{{ - 4 + 3\sqrt 3 }}{{25}}i \Rightarrow \left| w \right| = \frac{2}{5}$
Tính môđun của số phức $z$ thỏa mãn $z\left( {1 + 3i} \right) + i = 2$
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z\left( {1 + 3i} \right) + i = 2 \Leftrightarrow z = \frac{{2 - i}}{{1 + 3i}} = - \frac{1}{{10}} - \frac{7}{{10}}i$
Vậy $\left| z \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Cho số phức $z = 4 - 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}$, $z=?$
$\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$z = 4 - 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}} = 4 - 3i + \frac{{\left( {5 + 4i} \right)\left( {3 - 6i} \right)}}{{{3^2} + {6^2}}} = 4 - 3i + \frac{{13 - 2i}}{{15}} = \frac{{73}}{{15}} - \frac{{17}}{5}i$
Tìm số phức $z$, biết $\left( {2 - 7i} \right)z = \frac{{3 + 2i}}{{1 + 2i}} + 3i$
$\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left( {2 - 7i} \right)z = \frac{{3 + 2i}}{{1 + 2i}} + 3i \Leftrightarrow \left( {2 - 7i} \right)z = \frac{{7 + 11i}}{5} \Leftrightarrow z = \frac{{7 + 11i}}{5}:\left( {2 - 7i} \right) = - \frac{{63}}{{265}} + \frac{{71}}{{265}}i$
Cho số phức $z=3-4i$. Tìm nghịch đảo số phức liên hợp của số phức $z$
Nghịch đảo số phức liên hợp của số phức $z$ là $\frac{1}{{\overline z }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$z = 3 - 4i \Rightarrow \overline z = 3 + 4i \Rightarrow \frac{1}{{\overline z }} = \frac{1}{{3 + 4i}} = \frac{{3 - 4i}}{{25}} = \frac{3}{{25}} - \frac{4}{{25}}i$
Cho số phức $z$ có phần thực là 3 và phần ảo là $-9$. Môđun của số phức $\frac{1}{z}$ bằng
Tìm số phức $z$, tìm $\frac{1}{z}$ và tìm môđun
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = 3 - 9i$
$ \left| {z} \right| = \sqrt {3^2+9^2} = \sqrt {90}$
$ \left| {\frac{1}{z}} \right| =\frac{1}{ \left|z \right|} = \frac{1}{\sqrt{90}} =\sqrt{ \frac{1}{90}}$
Tìm số phức $z$ biết $\left( {2 - 3i} \right)z - \left( {6 + i} \right) = \left( {4 - 5i} \right)z$
$\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left( {2 - 3i} \right)z - \left( {6 + i} \right) = \left( {4 - 5i} \right)z$
$\Leftrightarrow z = \frac{{6 + i}}{{ - 2 + 2i}} = - \frac{5}{4} - \frac{7}{4}i$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 11 - 3i$. Điểm $M$ biểu diễn cho số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ là
Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M(a; b)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {1 + i} \right)z = 11 - 3i \Rightarrow z = \frac{{11 - 3i}}{{1 + i}} = 4 - 7i$
Vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là $M\left( {4;\, - 7} \right)$
Cho số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{z - i}}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ là
Gọi $z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$, và thay $z$ và số phức $w$ để rút gọn.
Nhớ: Số phức $z$ là số thuần ảo khi phần thực bằng 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
$w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{z - i}} = \frac{{x + 2 + \left( {y + 3} \right)i}}{{x + \left( {y - 1} \right)i}} = \frac{{\left[ {\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right) - x\left( {y + 3} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i$
Do $w$ là số thuần ảo nên: $\frac{{x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + {y^2} + 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn.
Cho các số phức $z_{1}, z_{2}$ với $z_{1} \ne 0$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = {z_1}.z + {z_2}$ là một đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường nào sau đây?
Lấy môđun 2 vế
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| w \right| = \left| {{z_1}.z + {z_2}} \right| \Leftrightarrow 1 = \left| {{z_1}} \right|\left| {z + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {z + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \frac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}}$
Nên tập hợp điểm là đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức $ - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$, bán kính bằng $\frac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}}$
Trên tập phức, tìm nghiệm của phương trình $iz + 2 - i = 0$
$\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 + i}}{i} \Leftrightarrow z = \frac{{ - 2}}{i} + 1 \Leftrightarrow z = 2i + 1$
Rút gọn số phức $z = \frac{{3 - 2i}}{{1 - i}} - \frac{{1 + i}}{{3 + 2i}}$ ta được:
$\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$z = \frac{{3 - 2i}}{{1 - i}} - \frac{{1 + i}}{{3 + 2i}} = \frac{{\left( {3 - 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}} = \frac{{55}}{{26}} + \frac{{11}}{{26}}i$