Tìm phần ảo của số phức $z$ biết $\left( {1 + i} \right)z = 3 - i$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Leftrightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 + i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} \Leftrightarrow z = 1 - 2i$
Vậy phần ảo của số phức $z$ bằng $-2$
Tính môđun của số phức $z = \frac{{5 - 10i}}{{1 + 2i}}$
Số phức $z = \frac{{a + bi}}{{c + di}}$ có môđun $\left| z \right| = \left| {\frac{{a + bi}}{{c + di}}} \right| = \frac{{\left| {a + bi} \right|}}{{\left| {c + di} \right|}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left| z \right| = \frac{{\left| {5 - 10i} \right|}}{{\left| {1 + 2i} \right|}} = \frac{{\sqrt {125} }}{{\sqrt 5 }} = 5$
Biết $\frac{1}{{3 + 4i}} = a + bi$ $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Tính $a.b$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{1}{{3 + 4i}} = \frac{3}{{25}} - \frac{4}{{25}}i$. Suy ra $\frac{3}{{25}} \cdot \left( { - \frac{4}{{25}}} \right) = - \frac{{12}}{{625}}$
Cho $z = 3 + 4i$, tìm phần thực và phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{1}{z} = \frac{1}{{3 + 4i}} = \frac{3}{{25}} - \frac{4}{{25}}i$. Vậy phần thực là $\frac{3}{{25}}$, phần ảo là $\frac{{ - 4}}{{25}}$
Số phức $\frac{1}{{1 + i}}$ bằng
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{1}{{1 + i}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Số phức $z = \frac{{2 + i}}{{4 + 3i}}$ bằng
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{2 + i}}{{4 + 3i}} = \frac{{\left( {2 + i} \right)\left( {4 - 3i} \right)}}{{\left( {4 + 3i} \right)\left( {4 - 3i} \right)}} = \frac{{8 + 4i - 6i + 3}}{{25}} = \frac{{11}}{{25}} - \frac{2}{{25}}i$
Môđun của số phức $z = 2 + 3i - \frac{{1 + 5i}}{{3 - i}}$ bằng
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = 2 + 3i - \frac{{\left( {1 + 5i} \right)\left( {3 + i} \right)}}{{\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)}} = 2 + 3i - \left( {\frac{{ - 1}}{5} + \frac{8}{5}i} \right) = \frac{{11}}{5} + \frac{7}{5}i$
Suy ra $\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {170} }}{5}$
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$, ${z_2} = 3 - i$. Tìm số phức $z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 2i}} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$
Tìm phần ảo của số phức $\overline z $, biết $z = \frac{{\left( {1 + i} \right)3i}}{{1 - i}}$
$z = \frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{\left( {1 + i} \right)3i}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}3i}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{2i.3i}}{2} = - 3 \Rightarrow \overline z = - 3.$
Vậy phần ảo của số phức $\overline z $ bằng 0
Cho số phức $z$ thỏa mãn $z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1$. Tính môđun của số phức $z$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1 \Rightarrow z = \frac{{1 - 13i}}{{2 - i}} \Rightarrow \left| z \right| = \frac{{\left| {1 - 13i} \right|}}{{\left| {2 - i} \right|}} = \sqrt {34} $
Cho số phức $z$ thỏa mãn $z = \frac{{2 + i}}{{3 - 2i}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = \frac{{2 + i}}{{3 - 2i}} = \frac{{\left( {2 + i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{{3^2} + {2^2}}} = \frac{{4 + 7i}}{{13}} = \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i$
Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức $z$ biết $z = 1 + 2i$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\frac{1}{z} = \frac{1}{{1 + 2i}} = \frac{{1 + 2i}}{{{1^2} + {2^2}}} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$
Cho số phức $z$ thỏa $z = \frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}$, mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = \frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }} = \frac{{\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)}}{{{2^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{2 + \sqrt 6 + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)i}}{7} = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{7}i$
Cho số phức ${z_1} = 3 + 2i$, ${z_2} = 2 + 3i$. Tính $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{3 + 2i}}{{2 + 3i}} = \frac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right)}}{{{2^2} + {3^2}}} = \frac{{12 - 5i}}{{13}} = \frac{{12}}{{13}} - \frac{5}{{13}}i$
Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức $z = \sqrt 2 - 3i$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{1}{z} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 3i}} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {3^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{11}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i$
Cho số phức $z$ thỏa $z\left( {2 - 3i} \right) = 5i$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z\left( {2 - 3i} \right) = 5i \Leftrightarrow z = \frac{{5i}}{{2 - 3i}} = \frac{{5i\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {3^2}}} = \frac{{ - 15 + 10i}}{{13}} = - \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i$
Cho số phức $z$ thỏa $z = \frac{{5 - 2i}}{i}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \frac{{5 - 2i}}{i} = \frac{{\left( {5 - 2i} \right)i}}{{ - 1}} = - 2 - 5i$
Tìm số phức $z$ biết $\left( {1 + i} \right)z = 4 + 2i$
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {1 + i} \right)z = 4 + 2i \Leftrightarrow z = \frac{{4 + 2i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {4 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} + {1^2}}} = \frac{{6 - 2i}}{2} = 3 - i$
Tìm số phức nghịch đảo của số phức $z = 5 + i\sqrt 3 $
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{1}{z} = \frac{1}{{5 + i\sqrt 3 }} = \frac{{5 - i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{5}{{28}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i$
Số phức $z = \frac{{1 + i}}{{2 - 3i}}$ có dạng:
$\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = \frac{{1 + i}}{{2 - 3i}} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {3^2}}} = \frac{{ - 1 + 5i}}{{13}} = - \frac{1}{{13}} + \frac{5}{{13}}i$