Cho $a, b>0$ $a \ne 1$. Một học sinh đã tính giá trị biểu thức như sau:
Bước 1: $P = {\log _b}a + {\log _b}{a^2} + {\log _b}{a^3} + ... + {\log _b}{a^n}$
Bước 2: $P = {\log _b}\left( {a.\,{a^2}.\,{a^3}...\,{a^n}} \right)$
Bước 3: $P = {\log _b}{a^{1 + 2 + 3 + ... + n}}$
Bước 4: $P = n\left( {n - 1} \right){\log _b}\sqrt a $
Hỏi học sinh đó đã giải sai bước nào?
Nhớ: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$
Do đó: $P = {\log _b}{a^{1 + 2 + 3 + ... + n}} = {\log _b}{a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} = n\left( {n + 1} \right){\log _b}\sqrt a $
Vậy bước 4 sai.
Cho $x = 2018!$. Tính $A = \frac{1}{{{{\log }_{{2^{2018}}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^{2018}}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{{2017}^{2018}}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{{2018}^{2018}}}}x}}$
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$, ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b.c} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$A = \frac{1}{{{{\log }_{{2^{2018}}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^{2018}}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{{2017}^{2018}}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{{2018}^{2018}}}}x}}$
$ = {\log _x}{2^{2018}} + {\log _x}{3^{2018}} + ... + {\log _x}{2017^{2018}} + {\log _x}{2018^{2018}}$
$ = 2018.{\log _x}2 + 2018.{\log _x}3 + ... + 2018.{\log _x}2017 + 2018.{\log _x}2018$
$ = 2018.\left( {{{\log }_x}2 + {{\log }_x}3 + ... + {{\log }_x}2017 + {{\log }_x}2018} \right)$
$ = 2018.lo{g_{2018!}}2018!$$= 2018$
Cho $x, y$ là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn ${x^2} - 6{y^2} = xy$. Tính $M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$
Đưa $x, y$ về một ẩn rồi thay vào phương trình M.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${x^2} - 6{y^2} = xy \Leftrightarrow {x^2} - xy - 6{y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3y\\\nx = - 2y\n\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow x = 3y$ (1)
Vậy $M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = \frac{{{{\log }_{12}}12xy}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: $M = \frac{{{{\log }_{12}}36{y^2}}}{{{{\log }_{12}}36{y^2}}} = 1$
Tính tổng $S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2$ dưới đây.
Nhớ: ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}$
$S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2$
$ = 1 + {2^2}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}{\log _{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2$$ = 1 + {2^3}{\log _2}2 + {3^3}{\log _2}2 + .... + {2018^3}{\log _2}2$
$ = 1 + {2^3} + {3^3} + ... + {2018^3} = {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2} = {1009^2}{.2019^2}$
Cho $a, b, c>1$. Biết rằng biểu thức $P = lo{g_a}\left( {bc} \right) + lo{g_b}\left( {ac} \right) + 4lo{g_c}\left( {ab} \right)$ đạt giá trị lớn nhất $m$ khi $lo{g_b}c = n$. Tính giá trị $m + n$.
Tìm GTLN bằng bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si)
${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b.c} \right)$
Với 2 số thực dương bất kỳ: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$P = lo{g_a}b + lo{g_a}c + lo{g_b}a + lo{g_b}c + 4lo{g_c}a + 4lo{g_c}b$
$P = \left( {lo{g_a}b + \frac{1}{{lo{g_a}b}}} \right) + \left( {lo{g_a}c + \frac{4}{{lo{g_a}c}}} \right) + \left( {lo{g_b}c + \frac{4}{{lo{g_b}c}}} \right)$$ \ge 2 + 4 + 4 = 10 \Rightarrow m = 10$.
Dâu bằng xảy ra khi $lo{g_a}b = 1,\,lo{g_a}c = 2,\,lo{g_b}c = 2 \Rightarrow n = 2$
Vậy $m + n = 12$
Cho $f\left( x \right) = a\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b\sin x + 6$ với $a,\,b \in \mathbb{R}$. Biết $f\left( {\log \left( {\log {\rm{e}}} \right)} \right) = 2$. Tính $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)$.
Đặt ${x_0} = \log \left( {\log {\rm{e}}} \right)$ và đưa phương trình $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)$ về $f\left( {{x_0}} \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt ${x_0} = \log \left( {\log {\rm{e}}} \right)$
Có: $f\left( {{x_0}} \right) = a\ln \left( {{x_0} + \sqrt {x_0^2 + 1} } \right) + b\sin {x_0} + 6 = 2$
Ta có: $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right) = f\left( {\log \left( {\frac{1}{{\log {\rm{e}}}}} \right)} \right) = f\left( { - \log \left( {\log {\rm{e}}} \right)} \right) = f\left( { - {x_0}} \right)$
$f\left( { - {x_0}} \right) = a\ln \left( {\sqrt {x_0^2 + 1} - {x_0}} \right) + b\sin \left( { - {x_0}} \right) + 6 = - a\ln \left( {{x_0} + \sqrt {x_0^2 + 1} } \right) - b\sin {x_0} + 6$
$ = - \left[ {a\ln \left( {{x_0} + \sqrt {x_0^2 + 1} } \right) + b\sin {x_0} + 6} \right] + 12 = - f\left( {{x_0}} \right) + 12 = 10$
Cho số thực $a, b$ thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{{{{\log }_b}a}} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \sqrt {2018} $. Giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}b}} - \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}}$ bằng?
Dựa vào công thức: ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$, dựa vào giả thuyết để tính biểu thức $P$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\frac{1}{{{{\log }_b}a}} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \sqrt {2018} \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = \sqrt {2018} $ (1)
$P = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}b}} - \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} = {\log _b}\left( {ab} \right) - {\log _a}\left( {ab} \right) = \left( {{{\log }_b}a + 1} \right) - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right) = {\log _b}a - {\log _a}b$ (2)
Từ (1) suy ra $\log _a^2b + \log _b^2a + 2{\log _a}b.{\log _b}a = 2018 \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2a = 2016$
Từ (2) suy ra ${P^2} = \log _a^2b + \log _b^2a - 2{\log _a}b.{\log _b}a = 2016 - 2 = 2014$
Do $a > b > 1$ nên ${\log _a}b < 1$ và ${\log _b}a > 1$ nên $P > 0$.
Vậy $P = \sqrt {2014} $
Giả sử ta có hệ thức ${a^2} + {b^2} = 7ab\,\,\left( {a,b > 0} \right)$. Hệ thức nào sau đây là đúng?
${a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $a,\,b > 0$ ta có: ${a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{\left( {a + b} \right)}}{3}} \right]^2} = ab$
$ \Leftrightarrow {\log _2}{\left[ {\frac{{\left( {a + b} \right)}}{3}} \right]^2} = {\log _2}ab \Leftrightarrow 2{\log _2}\frac{{a + b}}{3} = {\log _2}ab$
Cho hai số thực $a, b$ thỏa mãn $1 > a \ge b > 0$. Tính giá trị nhỏ nhất ${T_{\min }}$ của biểu thức sau $T = \log _a^2b + {\log _{a.b}}{a^{36}}$
Đặt $t = {\log _a}b$ và tìm GTNN của hàm $f\left( t \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$T = \log _a^2b + {\log _{a.b}}{a^{36}} = \log _a^2b + \frac{{36}}{{1 + {{\log }_a}b}} = \log _a^2b + \frac{{36}}{{1 + {{\log }_a}b}}$
Đặt $t = {\log _a}b$ vì $1 > a \ge b > 0 \Rightarrow {\log _a}b \ge {\log _b}b \Rightarrow t \ge 1$
Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} + \frac{{36}}{{1 + t}}$ $ \Rightarrow f\'(t) = 2t - \frac{{36}}{{{{(1 + t)}^2}}}$, cho $f\'(t) = 0 \Rightarrow t = 2$.
Hàm số $f\left( t \right)$ liên tục trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ có $\left\{ \begin{array}{l}\nf(1) = 19\\\nf(2) = 16\\\n\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = + \infty \n\end{array} \right.$$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{{\rm{[}}1; + \infty )} f(t) = 16 \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{{\rm{[}}1; + \infty )} T = 16$.
Vậy GNNN của $T$ bằng 16.
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $y = {10^{\frac{1}{{1 - \log x}}}}$, $z = {10^{\frac{1}{{1 - \log y}}}}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$a = {b^c} \Leftrightarrow c = {\log _b}a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y = {10^{\frac{1}{{1 - \log x}}}} \Leftrightarrow \log y = \frac{1}{{1 - \log x}}$
$z = {10^{\frac{1}{{1 - \log y}}}} \Leftrightarrow \log z = \frac{1}{{1 - \log y}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{1 - \log x}}}} = 1 - \frac{1}{{\log x}}$
Vậy $ \Leftrightarrow x = {10^{\frac{1}{{1 - \log z}}}}$