Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa: ${a^{{{\log }_3}7}} = 27$, ${b^{{{\log }_7}11}} = 49$, ${c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Tính giá trị của biểu thức: $T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}}$.
${a^{{{\log }_a}b}} = b$,
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}$
$ = {\left( {27} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {49} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^{{{\log }_{11}}25}} = {7^3} + {11^2} + \sqrt {25} = 469$.
Cho các số dương $a, b, c$. Tính giá trị của biểu thức: $T = {\log _{2019}}\frac{a}{b} + {\log _{2019}}\frac{b}{c} + {\log _{2019}}\frac{c}{a}$
$lo{g_a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$T = {\log _{2019}}\frac{a}{b} + {\log _{2019}}\frac{b}{c} + {\log _{2019}}\frac{c}{a} = {\log _{2019}}\left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}} \right) = {\log _{2019}}1 = 0$
Với các số thực dương $a, b$ bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _{27}}\left( {\frac{{{a^3}}}{b}} \right) = {\log _{{3^3}}}{a^3} - {\log _{{3^3}}}b = {\log _3}a - \frac{{\ln b}}{{\ln {3^3}}} = {\log _3}a - \frac{{\ln b}}{{3\ln 3}}$
Cho $a$ là số thực dương và $b$ là số thực khác 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}\left( {3{a^3}} \right) - {\log _3}{b^2} = {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} - {\log _3}b$
$ = {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} - {\log _3}b = 1 + 3{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|$
Cho $a = \log 2$, $b = \ln 2$ với $a, b$ là các số thực lớn hơn 1. Tính $P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x$
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{\log _a}x = 2\\\n{\log _b}x = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = {a^2}\\\nx = {b^3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^3} \Leftrightarrow a = \sqrt {{b^3}} \Leftrightarrow a = {b^{\frac{3}{2}}}$
$P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x = {\log _{\frac{{{b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^2}}}}}x = {\log _{{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}x = - 2{\log _b}x = - 6$
Đặt $\ln 2 = a$ và ${\log _5}4 = b$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _5}4 = b \Leftrightarrow \frac{{2\ln 2}}{{\ln 5}} = b \Leftrightarrow \ln 5 = \frac{{2a}}{b}$
Khi đó: $\ln 100 = 2\ln 10 = 2\left( {\ln 2 + \ln 5} \right) = 2\left( {a + \frac{{2a}}{b}} \right) = \frac{{2ab + 4a}}{b}$
Đặt $a = {\log _2}3$, $b = {\log _5}3$. Hãy biểu diễn ${\log _6}45$ theo $a$ và $b$.
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}\left( {{{5.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_3}5 + 2}}{{{{\log }_3}2 + 1}} = \frac{{\frac{1}{b} + 2}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$
Cho các số thực $a < b < 0$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
${\log _a}b$ có nghĩa khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b > 0}\\\n{a > 0,\,a \neq 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a < b < 0$ nên $\ln a$ và $\ln b$ không xác định.
Cho 2 số thực dương $a, b$ thỏa mãn $\sqrt a \ne b,\,\,a \neq 1,\,{\log _a}b = 2$. Tính $T = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{{ba}}$.
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _a}b = 2 \Rightarrow {\log _b}a = \frac{1}{2}$
$T = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{{ba}} = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{b} + {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{a}$$ = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\frac{{\sqrt a }}{b}}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\frac{{\sqrt a }}{b}}}$
$ = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\sqrt a - {{\log }_{\sqrt[3]{b}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\sqrt a - {{\log }_{\sqrt[3]{a}}}b}} = \frac{1}{{\frac{3}{2}{{\log }_b}a - 3}} + \frac{1}{{\frac{3}{2} - 3{{\log }_a}b}} = \frac{1}{{\frac{3}{2}.\frac{1}{2} - 3}} + \frac{1}{{\frac{3}{2} - 3.2}} = - \frac{2}{3}$
Cho $a$ là số thực dương khác 0. Giá trị của ${\log _a}a\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}$ là:
$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _a}a\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}=$ ${\log _a}a.\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}}} = {\log _a}a.\sqrt[5]{{a.{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = {\log _a}a.{\left( {a.{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\log _a}a.{a^{\frac{3}{{10}}}} = {\log _a}{a^{\frac{{13}}{{10}}}} = \frac{{13}}{{10}}$
Cho $x, y$ là các số thực dương và lớn hơn 1 thỏa mãn ${x^2} + 9{y^2} = 6xy$. Tính $M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$
Quy về một ẩn và giải phương trình logarit.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} + 9{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {\left( {x - 3y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y$
$M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$
$M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}3y + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {6y} \right)}} = \frac{{{{\log }_{12}}36{y^2}}}{{{{\log }_{12}}36{y^2}}} = 1$
Cho ${\log _3}a = 2$, ${\log _2}b = \frac{1}{2}$. Tính $I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3{\rm{a}}} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}$
Tìm $a, b$.
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _3}a = 2 \Leftrightarrow a = 9$, ${\log _2}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt 2 $.
$I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3{\rm{a}}} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2} = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3.9} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{3}{2}$
Biết ${\log _2}x = 6{\log _4}a - 4{\log _2}\sqrt b - {\log _{\frac{1}{2}}}c$. Tìm kết luận đúng
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _2}x = 6{\log _4}a - 4{\log _2}\sqrt b - {\log _{\frac{1}{2}}}c \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{a^3} - {\log _2}{b^2} + {\log _2}c$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}\frac{{{a^3}c}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{a^3}c}}{{{b^2}}}$
Với hai số thực dương $a, b$ tùy ý và $\frac{{{{\log }_2}a.{{\log }_5}2}}{{1 + {{\log }_5}2}} + \log b = 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\frac{{{{\log }_2}a.{{\log }_5}2}}{{1 + {{\log }_5}2}} + \log b = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}a}}{{{{\log }_5}10}} + \log b = 1 \Leftrightarrow \log a + \log b = 1 \Leftrightarrow \log ab = 1 \Leftrightarrow ab = 10$
Cho $x, y$ là hai số thực dương và $x \neq 1$ thỏa mãn ${\log _{\sqrt x }}y = \frac{{2y}}{5}$, ${\log _{\sqrt[3]{5}}}x = \frac{{15}}{y}$. Tính giá trị của $P = {y^2} + {x^2}$.
Tìm mỗi liên hệ giữa $x$ và $y$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _{\sqrt x }}y = \frac{{2y}}{5} \Leftrightarrow {\log _x}y = \frac{y}{5}$ (1)
${\log _{\sqrt[3]{5}}}x = \frac{{15}}{y} \Leftrightarrow {\log _5}x = \frac{5}{y}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: ${\log _x}y = \frac{1}{{{{\log }_5}x}} \Leftrightarrow {\log _x}y = {\log _x}5 \Leftrightarrow y = 5$$ \Rightarrow x = 5$
Vậy $P = {y^2} + {x^2} = 50$.
Cho hai số $x, y$ là hai số thực dương và khác 1 thỏa mãn ${\log _{\sqrt[3]{x}}}y = \frac{{3y}}{8}$, ${\log _{\sqrt 2 }}x = \frac{{32}}{y}$. Tính giá trị của biểu thức: $P = {x^2} - {y^2}$
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$, ${a^{{{\log }_a}b}} = b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _{\sqrt[3]{x}}}y = \frac{{3y}}{8} \Leftrightarrow {\log _x}y = \frac{y}{8}{\log _{\sqrt 2 }}x = \frac{{32}}{y} \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{{16}}{y}$
Mà ${\log _2}y = {\log _2}x.{\log _x}y = \frac{{16}}{y}.\frac{y}{8} = 2 \Rightarrow y = 4$
${\log _2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16$
Vậy $P = {x^2} - {y^2} = {16^2} - {4^2} = 240$
Mệnh đề nào sau đây là sai?
${\log _a}x$ có tập xác định là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x > 0}\\\n{a > 0,\,a \ne 1}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\log \left( {a.b} \right) = \log a + \log b$ chỉ đúng khi $a>0$ và $b>0$.
Cho $0 < a \neq 1$ và $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${\log _a}3 = x,{\log _a}2 = y$. Khi đó $\left( {x + y} \right){\log _6}a$
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$, ${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left( {x + y} \right){\log _6}a = \left( {{{\log }_a}3 + {{\log }_a}2} \right){\log _6}a$
$ = {\log _6}a.{\log _a}3 + {\log _6}a.{\log _a}2 = {\log _6}3 + {\log _6}2 = {\log _6}6 = 1$
Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 23ab$. Khẳng định nào sau đây là sai?
${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${a^2} + {b^2} = 23ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 25ab \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {a + b} \right)^2} = {\log _5}\left( {25ab} \right)$
$ \Leftrightarrow 2{\log _5}\left( {a + b} \right) = 2 + {\log _5}a + {\log _5}b$.
Vậy A sai.
Cho ${\log _a}c = x > 0$, ${\log _b}c = y > 0$. Khi đó giá trị của ${\log _{ab}}c\,$ là:
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$, ${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${\log _{ab}}c = \frac{1}{{{{\log }_c}ab}} = \frac{1}{{{{\log }_c}a + {{\log }_c}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}c}} + \frac{1}{{{{\log }_b}c}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}} = \frac{{xy}}{{x + y}}$.