Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và thể tích bằng $a^{3}$. Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho.
Công thức tính thể tích hình chóp: $V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do đáy là tam giác đều cạnh $2a$ nên: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $
Mà $V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 3 {a^2}}} = \sqrt 3 a$
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có chiều cao $a\sqrt 2 $ và độ dài cạnh bên bằng $a\sqrt 6 $. Tính thế tích khối chóp $S.ABCD$
Chiều cao của hình chóp đều là từ đỉnh nối xuống tâm đường tròn ngoại tiếp( nội tiếp) đa giác đáy.
$V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $BO = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}} = 2a$. Vậy $BD = 4a$, suy ra $AB = 2a\sqrt 2 $
$V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}A{B^2}.SO = \frac{{8a\sqrt 2 }}{3}$
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ , $SA = BC = a.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$
$V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $AB = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$ nên ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{4}$
Vậy $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{12}}$
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích lăng trụ là:
Thể tích lăng trụ: $V = h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên $h=5$.
Thể tích lăng trụ: $V = {S_{ABCD}}.h = {4^2}.5 = 80$
Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 3. Thể tích khối lăng trụ là:
$V = h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.3.3.\sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}$
$V = {S_{\Delta ABC}}.AA\' = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}$
Cho khối chóp $S.ABC$, trên ba cạnh $SA, SB, SC$ lần lượt lấy 3 điểm $A’,{\rm{ }}B’,{\rm{ }}C’$ sao cho $SA’ = \frac{1}{3}SA,\,SB’ = \frac{1}{3}SB,\,SC’ = \frac{1}{3}SC$. Gọi $V$ và ${V’}$ lần lượt là thể tích của hình chóp $S.ABC$ và $S.A’B’C’$. Tỉ số $\frac{{V’}}{V}$ là
Tỉ số $\frac{{V’}}{V} = \frac{{SA’}}{{SA}}.\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\frac{{V’}}{V} = \frac{{SA’}}{{SA}}.\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{27}}$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2a$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=3a$. Thể tích hình chóp $S.ABCD$ bằng?
$V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.a.2a.3a = 2{a^3}$
Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích khối chóp đó sẽ:
$V = \frac{1}{3}h.S$
Tìm mối liên hệ giữa diện tích và chiều cao.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần thì diện tích tăng lên bốn lần. Vì giảm chiều cao đi bốn lần nên thể tích không thay đổi.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt 3 $ và thể tích bằng $a^{3}$. Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho
$V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Diện tích mặt đáy $S = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3{a^2}$
$V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3{a^3}}}{{3{a^2}}} = a$
Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là $B$ và chiều cao là $h$
Thể tích lăng trụ bằng tích của chiều cao và diện tích đáy
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V = Bh$
Thể tích hình lập phương cạnh $\sqrt 3 $ là:
$V = {a^3}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V = {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = 3\sqrt 3 $
Cho tứ diện $MNPQ$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm các cạnh$MN, MP, MQ$. Tỉ số thể tích $\frac{{{V_{MIJK}}}}{{{V_{MNPQ}}}}$ bằng:
$\frac{{{V_{M.\,IJK}}}}{{{V_{M.\,NPQ}}}} = \frac{{MI}}{{MN}}.\,\frac{{MJ}}{{MP}}.\,\frac{{MK}}{{MQ}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{{{V_{M.\,IJK}}}}{{{V_{M.\,NPQ}}}} = \frac{{MI}}{{MN}}.\,\frac{{MJ}}{{MP}}.\,\frac{{MK}}{{MQ}} = \frac{1}{2}.\,\frac{1}{2}.\,\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA=a$. Biết rằng thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\sqrt 3 {a^3}$. Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp.
Gọi cạnh của đa giác có độ dài là $x$
$V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi tam giác $ABC$ đều có cạnh là $x$ nên chiều cao $h = BC.\sin {60^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x$
${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{SA}} = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{a} = 3\sqrt 3 {a^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}h.BC = 3\sqrt 3 {a^2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} = 3\sqrt 3 {a^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 3 a$
Thể tích khối chóp hình chữ nhật có kích thước $a, b, c$ bằng:
Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích của chiều dài, chiều rộng và chiều cao.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V = abc$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SB=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$.
$V = \frac{1}{3}h.S$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SB = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ có diện tích $16 cm^{2}$, diện tích một mặt bên là $8\sqrt 3 \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$ Tính thể tích $V$ của hình chóp $S.ABCD$
Từ diện tích đáy tìm cạnh đáy, từ diện tích mặt bên tìm cạnh bên. Từ đó tính thể tích hình chóp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${S_{ABCD}} = A{B^2} = 16\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow AB = 4\,{\rm{cm}} \Rightarrow AO = 2\sqrt 2 \,{\rm{cm}}.$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Khi đó $SM \bot AB.$
${S_{SAB}} = \frac{1}{2}SM.AB = 8\sqrt 3 \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow SM = 4\sqrt 3 \,{\rm{cm}}.$
$SA = \sqrt {S{M^2} + A{M^2}} = 2\sqrt {13} \,{\rm{cm}}.SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = 2\sqrt {11} \,{\rm{cm}}.$
$V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.16.2\sqrt {11} = \frac{{32\sqrt {11} }}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.$
Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA=2a$ $(a>0)$. $SA$ tạo với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ một góc ${30^\circ }$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Hai mặt phẳng $\left( {SGB} \right),\,\left( {SGC} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$
Nhớ: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {SGB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\n\left( {SGC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\n\left( {SGB} \right) \cap \left( {SGC} \right) = SG\n\end{array} \right. \Leftrightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)$
và $\widehat {\left[ {SA,\left( {ABC} \right)} \right]} = \widehat {\left[ {SA,AG} \right]} = \widehat {SAG} = {30^0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left( {SGB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\n\left( {SGC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\n\left( {SGB} \right) \cap \left( {SGC} \right) = SG\n\end{array} \right. \Leftrightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)$
Hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$ là $AG$.
$\widehat {\left[ {SA,\left( {ABC} \right)} \right]} = \widehat {\left[ {SA,AG} \right]} = \widehat {SAG} = {30^0}$
$SG = SA.\sin 30^\circ = 2a.\frac{1}{2} = a$
$AG = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 $
$AM = \frac{3}{2}AG = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có: $A{B^2} + B{M^2} = A{M^2} \Leftrightarrow \frac{5}{4}A{B^2} = \frac{{27{a^2}}}{4} \Leftrightarrow AB = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}$
${V_{SABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{\left( {\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}} \right)^2} = \frac{{9{a^3}}}{{10}}$
Tính thể tích $V$ của khối hộp hình chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ biết rằng $AB=a, AD=2a, AC’=a \sqrt14$
Từ $AC’$tính được chiều cao chiều cao hình hộp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $A{{C’}^2} = A{B^2} + A{D^2} + A{{A’}^2} \\\Leftrightarrow AA’ = \sqrt {A{{C’}^2} - A{B^2} - A{D^2}} \\\Leftrightarrow AA’ = \sqrt {14{a^2} - 4{a^2} - {a^2}} = 3a$
Thể tích khối hộp hình chữ nhật: $V = AB.AD.AA’ = 6{a^3}$
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = 3a,\,AC = 4a,\,BC = 5a,\,SA = SB = SC = 6a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$
Đường cao của hình chóp là từ đỉnh nối xuống tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $AB = 3a,\,AC = 4a,\,BC = 5a$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Vì $SA = SB = SC$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và chính là trung điểm của $BC$.
$SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {36{a^2} - \frac{{25}}{4}{a^2}} = \frac{{\sqrt {119} a}}{2}$
Diện tích tam giác $ABC$: ${S_{\Delta ABC}} = 6{a^2}$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.6{a^2}.\frac{{\sqrt {113} }}{2}a = {a^3}\sqrt {119} $
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy $AB$ và $CD$ với $AB = 2CD = 2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt 3 a$. Tính chiều cao $h$ của hình thang $ABCD$, biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $\sqrt 3 {a^3}$
Diện tích hình thang: ${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).h$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{SA}} = 3{a^2}$
${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).h \Rightarrow h = \frac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = 2a$