Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {5 - 4x}$ trên đoạn $\left[ { - 1;\,\,1} \right]$. Khi đó $M-m$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\,\,\frac{5}{4}} \right]$
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;\,\,1} \right]$
$y\' = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\,\forall x \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]$
$y\left( 1 \right) = 1,\,\,y\left( { - 1} \right) = 3$
$M = 3,m = 1 \Rightarrow M - m = 2$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 2x}$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ {0;2} \right]$
$y\' = \frac{{ - 2x + 2}}{{2\sqrt { - {x^2} + 2x} }}$
$y\' = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Ta có: $f\left( 1 \right) = 1,\,f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 2x}$ bằng 1.
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \sqrt {4 - {x^2}} + m$ là $3\sqrt 2$. Giá trị của tham số $m$ là
Tìm tập xác định sau đó tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ { - 2;{\rm{ }}2} \right]$
$y\' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\n4 - {x^2} = {x^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\nx = \pm \sqrt 2 \n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $
Ta có : $f\left( 2 \right) = 2 + m$; $\,f\left( { - 2} \right) = - 2 + m$; $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + m$
Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là $2\sqrt 2 + m = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow m = \sqrt 2$.
Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}$ ($m$ là tham số) thỏa mãn $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 3$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Đối với hàm bậc nhất trên bậc nhất. GTLN, GTNN nằm tại hai đầu mút.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\left[ {2;4} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$
$y\' = \frac{{ - 1 - m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$y\left( 2 \right) = m + 2$, $y\left( 4 \right) = \frac{{m + 4}}{3}$
TH1: $- 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 1$. Khi đó $y\' > 0,\,\forall x \in D$. Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1$(Loại)
TH2: $- 1 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 1$. Khi đó $y\' < 0,\,\forall x \in D$. Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) \Leftrightarrow \frac{{m + 4}}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ (nhận).
TH3: $m = - 1$. Khi đó $y = 1 < 3$ nên loại $m = - 1$.
Vậy $m = 5$.
Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ ($m$ là tham số) thỏa mãn: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Đối với hàm bậc nhất trên bậc nhất: GTLN, GTNN thường nằm trên hai đầu mút.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ {1;\,2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}$
$y\' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$, $y\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{2}$, $y\left( 2 \right) = \frac{{m + 2}}{3}$
TH1: $1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi đó $y = 1$ (loại $m = 1$)
TH2: $m \ne 1$. Khi đó GTLN, GTNN lần lượt là $y\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{2}$, $y\left( 2 \right) = \frac{{m + 2}}{3}$ hoặc ngược lại.
Theo đề ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 3m + 3 + 2m + 4 = 32 \Leftrightarrow 5m = 25 \Leftrightarrow m = 5$
Gọi $M$ và $m$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số $y = 2\sin x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$. Tìm $M$ và $m$.
Tìm GTLN, GTNN trên $\left[ {a;\,b} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 2\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in\mathbb{Z}$
Với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ suy ra $x = \frac{\pi }{2}$.
Ta có: $y\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1$, $y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$, $y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 1$
Vậy $M=2$ và $m=-1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4$ trên $\mathbb{R}$.
Chuyển về một hàm lượng giác.
Nhớ: $- 1 \le \sin \alpha ,\,cos\alpha \le 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4 = - {\sin ^2}2x - \frac{1}{2}\sin 2x + 5$
Đặt $t = \sin 2x$, $t \in \left[ { - 1;1} \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right) = - {t^2} - \frac{1}{2}t + 5$, $t \in \left[ { - 1;1} \right]$.
$g\'\left( t \right) = - 2t - \frac{1}{2}$
$g\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4} \in \left[ { - 1;\,1} \right]$
$g\left( { - 1} \right) = \frac{9}{2}$, $g\left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{81}}{{16}}$, $g\left( 1 \right) = \frac{7}{2}$.
Vậy GTNN của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4$ bằng $\frac{7}{2}$.
Cho hàm số $y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.
Đặt $t = \sin x$, $t \in \left[ { - 1;\,1} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \sin x,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$
$y = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$
Xét hàm số $y = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
$y\' = \frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}$
$y\' = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 0{\rm{ }} \in \left[ { - 1;\,1} \right]\\\nt = - 2{\rm{ }} \notin \left[ { - 1;\,1} \right]\n\end{array} \right.$
Ta có: $y\left( { - 1} \right) = 0$, $y\left( 0 \right) = 1$, $y\left( 1 \right) = \frac{2}{3}$.
Vậy $M=1$, $m=0$. Khi đó $M=m+1$.
Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 5}}{{x - 2}}$ trên $\left[ { - 2;1} \right]$. Tính $T = M + 2m$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số liên tục trên $\left[ { - 2;1} \right]$
$y\' = \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$, $y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1 \in \left[ { - 2;\,1} \right]\\\nx = 5 \notin \left[ { - 2;\,1} \right]\n\end{array} \right.$
Ta có: $y\left( { - 2} \right) = - \frac{9}{4}$, $y\left( { - 1} \right) = - 2$, $y\left( { - 2} \right) = - 6$.
Vậy $M=-2$, $m=-6$. Khi đó $T=M+2m=-14$.
Ký hiệu $a, A$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Giá trị $a+A$ bằng?
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
$y\' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\\nx = 3 \notin \left[ {0;2} \right]\n\end{array} \right.$
Ta có: $y\left( 0 \right) = 4$, $y\left( 1 \right) = 3$, $y\left( 2 \right) = \frac{{10}}{3}$.
Vậy $A=4$, $a=3$. khi đó $a+A=3+4=7$.
Số các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 1}}{{x - m}}$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0;\,4} \right]$ bằng $-6$.
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0$
Ta có: ${m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$, vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\,m} \right)$; $\left( {m;\, + \infty } \right)$.
Vậy $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$
Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0;\,4} \right]$ bằng $-6$ thì:
$\left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\nf\left( 4 \right) = - 6\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n\frac{{3 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 6\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n{m^2} + 6m - 27 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n\left[ \begin{array}{l}\nm = 3\\\nm = - 9\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 9$.
Vậy chỉ có 1 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{x^3} - 3{x^2} + m$ trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$ bằng 5 khi m bằng:
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định và liên tục trên $D = \left[ {0;5} \right]$
$y’ = 6{x^2} - 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in D\\ x = 1 \in D \end{array} \right.$
Ta có: $f\left( 0 \right) = m$, $f\left( 1 \right) = m - 1$, $f\left( 5 \right) = 175 + m$.
Nhận thấy $f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right) > f\left( 1 \right),\;\forall m \in\mathbb{R}$ nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = m - 1$
Theo đề ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 6}}{{x - 1}}$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ lần lượt là M, m. Tính $S=M+m$.
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$f\'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3 \in \left[ {2;\,4} \right]\\\nx = - 1 \notin \left[ {2;\,4} \right]\n\end{array} \right.$
$f\left( 2 \right) = 4$, .$f\left( 3 \right) = 3$, $f\left( 4 \right) = \frac{{10}}{3}$.
Vậy $M=4$, $m=3$. Khi đó $S=4+3=7$
Cho hàm số $y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng nhất.
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. Đúng nhưng chưa đủ.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. Sai vì hàm số có GTLN bằng 1.
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Sai. vì hàm số có GTLN, GTNN.
Chọn A
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không có GTNN. Vậy mệnh đề sai là phương án D. $\mathop {\min }\limits_{\mathbb{R}} y = 3$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Dựa vào bảng xét dấu, hoặc có thể lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta có trong khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ hàm số có một cực trị và điểm đó là điểm cực đại của hàm số. Vậy trong khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ hay $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$
Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2}$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian lúc bắt đầu chuyển động. Hỏi trong khoảng 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?
Nhớ: $v = s’$. Từ đó tìm GTLN, GTNN trên khoảng $\left( {a;\,b} \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vận tốc tại thời điểm t là: $v(t) = s’(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t.$
$v’(t) = - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6$
Vậy vận tốc lớn nhất của vật bằng 54 (m/s) tại $t=6$
Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loài vi khuẩn. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức: $f(t) = 1000 + 30{t^2} - {t^3}{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 30} \right)$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn đạt giá trị lớn nhất.
Tìm GTLN, GTNN của hàm $f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;\,30} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\'\left( t \right) = - 3{t^2} + 60t$
$f\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 0\\\nt = 20\n\end{array} \right.$
Ta có: $f\left( 0 \right) = f\left( {30} \right) = 1000$
$f\left( {20} \right) = 5000$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;30} \right]} f\left( t \right) = 5000$ tại $t=20$ phút.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi một bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức: $c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}$ (mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
Tìm GTLN, GTNN của hàm $c\left( t \right)$, với $t>0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}},\,t > 0$
$c\'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}$
$c\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} c\left( t \right) = \frac{1}{2}$ tại $t=1$
Tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)\sqrt {{x^2} + 4}$ trên đoạn $\left[ {0{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 3} \right]$ có dạng $a - b\sqrt c$ với $a$ là số nguyên và $b, c$ là các số nguyên dương. Tính $S=a+b+c$
Tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)\sqrt {{x^2} + 4}$
$f\'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 6x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$
$f\'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow f\'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 6x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 0$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \in \left[ {0;\,3} \right]\\\nx = 2 \in \left[ {0;\,3} \right]\n\end{array} \right.$.
Ta có: $f\left( 0 \right) = - 12$, $f\left( 1 \right) = - 5\sqrt 5 $, $f\left( 2 \right) = - 8\sqrt 2 {\kern 1pt} {\kern 1pt} $, $f\left( 3 \right) = - 3\sqrt {13} $.
Vậy $m = - 12{\kern 1pt} {\kern 1pt}$, $M = - 3\sqrt {13}$$\Rightarrow a = - 12;\,b = 3;\,c = 13$
Khi đó: $a + b + c = 4.$