Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 3$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = 3{x^2} + 2x + 2 > 0\forall x \in\mathbb{R}$, vậy hàm số không có cực trị.
Xét trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \max \left\{ {f( - 1),f(2)} \right\} = 19$
$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \min \left\{ {f( - 1),f(2)} \right\} = 1$
Vậy đáp án đúng là B. 1 và 19
Hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x - 1$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ là:
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ {0;2} \right]$
$y’ = {x^2} + x - 2$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 2\,\,\left( { \notin \left[ {0;2} \right]} \right) \end{array} \right.$
Ta có: $f\left( 0 \right) = - 1;\,\,f\left( 1 \right) = - \frac{{13}}{6};\,\,f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = - \frac{1}{3}$
Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x^3} - 4{x^2} + 12x - \frac{2}{3}$. Tổng GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$ là:
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ {0;5} \right]$
$y’ = {x^2} - 8x + 12$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6 \notin \left[ {0;5} \right]\\ x = 2 \in \left[ {0;5} \right] \end{array} \right.$
$y\left( 2 \right) = 10;\,y\left( 0 \right) = - \frac{2}{3};\,y\left( 5 \right) = 1$
Tổng GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;5} \right]$ bằng: $10 - \frac{2}{3} = \frac{{28}}{3}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {x^2} + \frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$
$y’ = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]$
$y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4};\,y\left( 1 \right) = 3;\,y\left( 2 \right) = 5$
Vậy $m=3$
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 1.$ Gọi GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó $M-m$ bằng
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$f’\left( x \right) = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \in \left[ {0;\,2} \right]\,\,\,}\\ {x = - 1 \notin \left[ {0;\,2} \right]}\\ {x = 1 \in \left[ {0;\,2} \right]\,\,\,\,} \end{array}} \right.$
$f\left( 0 \right) = - 1$, $f\left( 1 \right) = - 2 = m$, $f\left( 2 \right) = 7 = M$.
Vậy $M - m = 7 - \left( { - 2} \right) = 9$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên.
Chọn mệnh đề đúng:
Dựa vào bảng biến thiên.
Lưu ý:
Tại $+ \infty ;\, - \infty $ thì không được xem là GTLN, GTNN.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, ta có $y{\rm{ }} = - 1$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cho hàm số $y = \frac{{2 - x}}{{1 - x}}$. Gọi $M,m$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên $\left[ {2;4} \right]$. Khi đó:
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y = \frac{{ - x + 2}}{{ - x + 1}} \Rightarrow y’ = \frac{1}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {2;4} \right]$
$\Rightarrow M = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3};m = y\left( 2 \right) = 0$
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn $\left[ { - 4;0} \right]$ lần lượt là $M,m$. Giá trị của tổng $M+m$ bằng bao nhiêu?
Để tìm GTLN, GTNN trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$
- Giả sử phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1},\,{x_2},...,{x_n} \in \left( {a;\,b} \right)$.
- Tính $f\left( {{x_1}} \right),\,f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $f\left( a \right),\,f\left( b \right)$. Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ { - 4;0} \right]$
$y’ = {x^2} + 4x + 3 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right]\\ x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \end{array} \right.$
$f\left( { - 1} \right) = - \frac{{16}}{3};f\left( { - 4} \right) = - \frac{{16}}{3};f\left( 0 \right) = - 4$
$\Rightarrow M + m = - \frac{{16}}{3} - 4 = - \frac{{28}}{3}$.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 15$ trên đoạn $\left[ { - 3;2} \right]$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 4{x^3} - 4x$
$y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0 \in \left[ { - 3;2} \right]\\\nx = 1 \in \left[ { - 3;2} \right]\\\nx = - 1 \in \left[ { - 3;2} \right]\n\end{array} \right.$
$y\left( 2 \right) = - 7,\,y\left( 1 \right) = - 16,\,y\left( 0 \right) = - 15,\,y\left( { - 1} \right) = - 16,\,y\left( { - 3} \right) = 48$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số: $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 48$
Hàm số $y = f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn $[ - 1;\,\,3]$ cho trong hình bên. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[ - 1;\,\,3]$. Tìm mệnh đề đúng?
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, vậy $M = f(0)$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không tồn tại GTLN, GTNN.
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có hai cực trị tại $x = 1$ và $x=3$.
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm mệnh đề đúng
Dựa vào bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điểm $M\left( {0;1} \right)$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
Hàm số $y = {\left( {4 - {x^2}} \right)^2} + 1$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 4{x^3} - 16x$
$y\' = 0 \Rightarrow 4{x^3} - 16x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\\\nx = 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\\\nx = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\n\end{array} \right.$
$f\left( { - 1} \right) = 10,\,f\left( 1 \right) = 10,\,f\left( 0 \right) = 17$.
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = f\left( 0 \right) = 17$.
Giá trị lớn nhất của hàm số $\frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn $\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right]$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$
$f\'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$f\'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0 \in \left[ { - 2;\,\frac{1}{2}} \right]\\\nx = 2 \notin \left[ { - 2;\,\frac{1}{2}} \right]\n\end{array} \right.$
$f\left( { - 2} \right) = - \frac{{13}}{3},\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{7}{2},\,f\left( 0 \right) = - 3$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right]$ bằng $-3$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{x}$ trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$.
Giải phương trình $f’\left( x \right) = 0$.
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \,\,\,\, \in \left( {0;\, + \infty } \right)\\ x = - \sqrt 3 \notin \left( {0;\, + \infty } \right) \end{array} \right.$
Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ bằng $- \frac{{2\sqrt 3 }}{9}$
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {x^3} + \frac{3}{x}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Giải phương trình $f’\left( x \right) = 0$ và lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left( {0; + \infty } \right)$
$y’ = 3{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{3{x^4} - 3}}{{{x^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\,\,}\\ {x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)} \end{array}} \right.$
Ta có: $\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty $, $\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty $, $y\left( 1 \right) = 4$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4.
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. Tìm $m?$
Giải phương trình $f’\left( x \right) = 0$ và lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\, \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\ x = - 1 \notin \left( {1;\, + \infty } \right) \end{array} \right.$
$y\left( 3 \right) = 4,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to {1^ + }} y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } y = + \infty $
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ bằng 4, $m=4$.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - {x^3} + 3x + 1$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ bằng:
Giải phương trình $f’\left( x \right) = 0$ và lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = - 3{x^2} + 3$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\, \in \left( {0;\, + \infty } \right)\\ x = - 1 \notin \left( {0;\, + \infty } \right) \end{array} \right.$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty ,\,y\left( 1 \right) = 3$
vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại $x=1$.