Biết rằng $\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}{\rm{d}}x} = a\ln 5 + b\ln 2\;\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
$\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right){\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^5 = \ln 5 - \ln 2$
Vậy $a=1; b=-1$. Vậy $a+b=0$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0\,;\,10} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 7,\,\int\limits_2^6 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 3$. Tính $P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $
$ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{10} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} - \int\limits_2^6 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 4$
Một ô tô đang chạy xe với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm xe đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = - 5t + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, trong đó $t$ là thời gian được tính từ lúc người đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu?
Xe dừng lại thì $v(t)=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xe dừng lại khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$
Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh cho đến lúc dừng hẳn:
$\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} {\rm{ = }}\left. {\left( {20t - \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4{\rm{ = 40 m}}$
Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: $45 - 40 = 5{\rm{ m}}$
Biết $\int\limits_4^6 {\frac{{{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} + x}}{\rm{d}}x} = \ln \frac{a}{b} + c$, với $a, b, c$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c$
$\int\limits_4^6 {\frac{{{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} + x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_4^6 {\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_4^6 {\frac{{{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} + x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_4^6 {\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {x + \ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_4^6 = \ln \frac{{147}}{{50}} + 2$
Do đó: $S = a + b + c = 199$
Tích phân $I = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^2} + 3x + 2}}{\rm{d}}x} $ có giá trị bằng
$I = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^2} + 3x + 2}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{2}{{x + 1}}{\rm{ + }}\frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$I = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^2} + 3x + 2}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{2}{{x + 1}}{\rm{ + }}\frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {2\ln \left| {x + 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^2$
$ = 2\ln 3 + 3\ln 4 - \left( {2\ln 1 + 3\ln 2} \right) = 2\ln 3 + 3\ln 2$
Biết rằng $\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{Q}$. Tính $P = a + b + c$
$\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x - 1}}{\rm{d}}x} + \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x - 1}}{\rm{d}}x} + \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\ln \left| {x - 1} \right|\left| \begin{array}{l}\n3\\\n2\n\end{array} \right. + \frac{1}{6}\ln \left| {2x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}\n3\\\n2\n\end{array} \right. = \frac{4}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 5 + \frac{1}{6}\ln 7$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{4}{3}\\\nb = - \frac{1}{6}\\\nc = \frac{1}{6}\n\end{array} \right. \Rightarrow P = a + b + c = \frac{4}{3}$
Cho $f(x),\,g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {2;6} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_2^3 {f(x)dx = 3} ;\int\limits_3^6 {f(x)dx} = 7;\int\limits_3^6 {g(x)dx = 5} $. Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng?
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int\limits_3^{\ln {e^6}} {\left[ {{\rm{4}}f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_3^6 {\left[ {{\rm{4}}f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 4\int\limits_3^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 2\int\limits_3^6 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 28 - 10 = 18$
Vậy D sai.
Biết $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{\ln x}}{{x\left( {\ln x + 2} \right)}}{\rm{d}}x = a\ln \frac{3}{2} + b,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)} $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow {\rm{dt}} = \frac{1}{x}{\rm{d}}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow {\rm{dt}} = \frac{1}{x}{\rm{d}}x$
Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 2;\,x = {\rm{e}} \Rightarrow t = 3$
Khi đó, $I = \int\limits_2^3 {\frac{{t - 2}}{t}{\rm{dt}}} = \left. {\left( {t - 2\ln t} \right)} \right|_2^3 = 1 + 2\ln \frac{2}{3} = 1 - 2\ln \frac{3}{2}$
Vậy $a = - 2;b = 1$ nên $a + 2b = 0.$
Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_3^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = a} ,\,\left( {a \in \mathbb{R}} \right)$. Tích phân $I = \int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} $ có giá trị là:
Đặt $t = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x$
Đổi cận $x = 1 \Rightarrow t = 3;\,x = 2 \Rightarrow t = 5$
$ \Rightarrow I = \int\limits_3^5 {\frac{1}{2}f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{2}\int\limits_3^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}a$
Cho tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} $ Nếu đổi biển số $x = 2\sin t,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thì:
Đặt $x = 2\sin t,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right),\,{\rm{d}}x = 2\cos t\,{\rm{d}}t$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $x = 2\sin t,\,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right),\,{\rm{d}}x = 2\cos t\,{\rm{d}}t$
Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0,\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}$
$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t\,{\rm{d}}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos t\,{\rm{d}}t}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}t} }}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{\rm{d}}t} $
Biết rằng $\int\limits_2^3 {\frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}d{\rm{x}}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{Q}$. Tính $P = a + b + c?$
$\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \frac{4}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x - 1}}dx} + \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{2x + 1}}dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \frac{4}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x - 1}}dx} + \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{4}{3}\ln \left| {x - 1} \right|\left| \begin{array}{l}\n3\\\n2\n\end{array} \right. + \frac{1}{6}\ln \left| {2x + 1} \right|\left| \begin{array}{l}\n3\\\n2\n\end{array} \right. = \frac{4}{3}\ln 2 + \frac{1}{6}\ln 7 - \frac{1}{6}\ln 5$
Vậy $a = \frac{4}{3};\,b = - \frac{1}{6};\,c = \frac{1}{6}.\,P = a + b + c = \frac{4}{3}$
Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} $, với $a, b$ là các số thực. Tính $16a-8b$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + \cos 2x}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = \frac{1}{2}\tan x \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{1 + \cos 2x}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = \frac{1}{2}\tan x \end{array} \right.$
Ta có:
$I = \frac{1}{2}x\tan x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{4}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x{\rm{d}}x} \\= \frac{\pi }{8} + \frac{1}{2}\ln \left| {\cos x} \right|\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{4}\\ 0 \end{array} \right. \\= \frac{\pi }{8} + \frac{1}{2}\ln \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\= \frac{\pi }{8} - \frac{1}{4}\ln 2 \\ \Rightarrow a = \frac{1}{8},b = - \frac{1}{4}$
Do đó, $16a - 8b = 4$
Tích phân $\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}{\rm{d}}x = e + \frac{a}{b}} $. Tính tích $a.b$
Đặt $t = {e^x}$ hoặc vi phân.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}{\rm{d}}x = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}{\rm{d}}x} } + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}{\rm{d}}\left( {x + 1} \right)} - \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - x}}{\rm{d}}\left( { - x} \right)} $
$ = \left. {{e^{\left( {x + 1} \right)}}} \right|_0^{\ln 2} - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^{\ln 2} = \left( {2e - e} \right) - \left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = e + \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1,\,b = 2 \Rightarrow ab = 2$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm chẵn, có đạo hàm trên đoạn $\left[ { - 6;6} \right]$. Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x} = 3$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Nhớ tính chất $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{dt}}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $f(x)$ là hàm chẵn nên $\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8$
$\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} = 3$
Xét tích phân $K = \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} = 3$
Đặt $u = 2x \Rightarrow {\rm{d}}u = 2{\rm{d}}x \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{{{\rm{d}}u}}{2}$
Đổi cận $x = 1 \Rightarrow u = 2;\,x = 3 \Rightarrow u = 6$
$K = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( u \right){\rm{d}}u} = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 \Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 6} $
Vậy $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8 + 6 = 14$
Biết $I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b}\ln 3 - c$ trong đó $a, b, c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b + c.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( {2x + 1} \right)\\\n{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{2}{{2x + 1}}{\rm{d}}x\\\nv = \frac{{{x^2}}}{2}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( {2x + 1} \right)\\\n{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{2}{{2x + 1}}{\rm{d}}x\\\nv = \frac{{{x^2}}}{2}\n\end{array} \right.$
$I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^2}\ln \left( {2x + 1} \right)}}{2}} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} $
$ = 8\ln 9 - \int\limits_0^4 {\left( {\frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{{4\left( {2x + 1} \right)}}} \right){\rm{d}}x} = 16\ln 3 - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^4 = \frac{{63}}{4}\ln 3 - 3$
$ \Rightarrow \frac{a}{b}\ln 3 - c = \frac{{63}}{4}\ln 3 - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 63\\\nb = 4\\\nc = 3\n\end{array} \right. \Rightarrow S = 70$
Giả sử rằng $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = a\ln \frac{2}{3} + b\,$. Khi đó giá trị của $a+2b$ là:
$I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \frac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \frac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx} $
$ \Rightarrow I = \left. {\left[ {\frac{{3{x^2}}}{2} + 11x + 21.\ln \left| {x - 2} \right|} \right]} \right|_{ - 1}^0 = 21.\ln 2 + \frac{{19}}{2} - 21.\ln 3$
$ \Rightarrow I = 21\ln \frac{2}{3} + \frac{{19}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 21\\\nb = \frac{{19}}{2}\n\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 40$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ và thỏa $\int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$ và $3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 12$. Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Đặt $u = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}u = 2{\rm{d}}x{\rm{d}}v = f’\left( x \right){\rm{d}}x \Rightarrow v = f\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $u = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}u = 2{\rm{d}}x{\rm{d}}v = f’\left( x \right){\rm{d}}x \Rightarrow v = f\left( x \right)$
Ta có:
$10 = \int\limits_a^b {\left( {2x + 1} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} \\= \left. {\left[ {\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\= 3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{12 - 10}}{2} = 1$
Cho hàm số $y = f\left( x \right),\,y = g\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm và liên tục trên $\left[ {0;\,2} \right]$ và $\int\limits_0^2 {g\left( x \right)f’\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2$, $\int\limits_0^2 {g’\left( x \right)f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {g\left( x \right)f\left( x \right)} \right]}^\prime }} {\rm{d}}x$
${\left( {u.v} \right)^\prime } = u’v + v’u$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {g\left( x \right)f\left( x \right)} \right]}^\prime }} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left[ {g’\left( x \right)f\left( x \right) + g\left( x \right).f’\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x$
$ = \int\limits_0^2 {g’\left( x \right)f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_0^2 {g\left( x \right)f’\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 3 + 2 = 5$
Cho tích phân $\int_{ - \frac{\pi }{3}}^0 {\cos 2x\cos 4x{\rm{d}}x} = a + b\sqrt 3 $, trong đó $a, b$ là các hằng số hữu tỉ. Tính ${e^a} + {\log _2}\left| b \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int_{ - \frac{\pi }{3}}^0 {\cos 2x\cos 4x{\rm{d}}x} =\frac{1}{2}\int_{ - \frac{\pi }{3}}^0 {\left( {\cos 6x + \cos 2x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left. {\left( {\frac{1}{6}\sin 6x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{3}}^0 = - \frac{1}{8}\sqrt 3 $
Do đó ta có: $a = 0,\,b = - \frac{1}{8}$. Vậy ${e^a} + {\log _2}\left| b \right| = {e^0} + {\log _2}\frac{1}{8} = - 2$
Biết $\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\rm{d}}x = a + \ln \frac{b}{2}} $ với $a, b$ là các số nguyên. Tính $S = {b^2} - a$
Phân tích $\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_3^5 = 8 + \ln \frac{3}{2}$
Suy ra $a = 8,\,b = 3.S = {3^2} - 8 = 1$