Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:
$\int\limits_c^d {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \left. {\frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} \right|_c^d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}\n{\rm{e}}\\\n1\n\end{array} \right. = \ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$
Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^9 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^9 {3g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 26$
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và $a, b, c \in K$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} $. Vậy mệnh đề A sai.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$. Mệnh đề nào sau đây sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\int\limits_a^b {k{\rm{d}}x} = \left. {kx} \right|_a^b = kb - ka = k\left( {b - a} \right)$
Tích phân $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x$ bằng:
$\int\limits_c^d {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \left. {\frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} \right|_c^d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} \,{\rm{d}}x = \left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^2 = \ln 5$
Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $ bằng?
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \left. { - \cot x} \right|_a^b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x\left| \begin{array}{l}\n^{\frac{\pi }{3}}\\\n_{\frac{\pi }{4}}\n\end{array} \right. = - \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$
Cho $f, g$ là hai hàm liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn điều kiện $\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 10$ đồng thời $\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 6} $. Tính $\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 10 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 10$ (1)
$\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 6} \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 6$ (2).
Giải hệ (1), (2) ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 4}\\\n{\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 2}\n\end{array}} \right.$
Vậy $\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} =6$
Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\rm{e}}^{\cos x}}.\sin x{\rm{d}}x} $ bằng
Vi phân hoặc đặt $t=cosx$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\rm{e}}^{\cos x}}.\sin x{\rm{d}}x} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\rm{e}}^{\cos x}}{\rm{d}}\left( {\cos x} \right)} = \left. {{{\rm{e}}^{\cos x}}} \right|_{\frac{\pi }{2}}^0 = {\rm{e}} - 1$
Có bao nhiêu số thực $b$ thuộc $\left( {\pi ;3\pi } \right)$ sao cho $\int\limits_\pi ^b {4\cos 2xdx = 1} $?
$\int\limits_c^d {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {\frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} \right|_c^d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_\pi ^b {4\cos 2xdx = 1} \Leftrightarrow 2\sin 2x\left| {_\pi ^b} \right. = 1 \Leftrightarrow \sin 2b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{b = \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\\n{b = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi }\n\end{array}} \right.$
Vậy $b = \left\{ {\,\frac{{13\pi }}{{12}};\,\frac{{25\pi }}{{12}};\,\frac{{17\pi }}{{12}};\,\frac{{29\pi }}{{12}}} \right\}$
Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} + 2} \right){\rm{d}}x} $ bằng:
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} + 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + 2x} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + 4 - 2 = \ln 2 + 2$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 2$ và $f\left( 3 \right) = 9$. Tính $I = \int\limits_1^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $
$\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_1^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = 9 - 2 = 7$
Cho $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 17$ và $\int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 11$ với $a < b < c$. Tính $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
$a < b < c:\,\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $a < b < c:\,\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
$ \Rightarrow I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 17 + 11 = 28$
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $K$, $a, b \in K$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Biết tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{{2x + 3}}{{2 - x}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b$, $(a, b \in \mathbb{Z})$, giá trị của $a$ bằng.
Tính tích phân và tìm $a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_0^1 {\frac{{2x + 3}}{{2 - x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( { - 2 + \frac{7}{{2 - x}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - 2x - 7\ln \left| {2 - x} \right|} \right)} \right|_0^1 = 7\ln 2 - 2$
Tích phân $\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:
Vi phân hoặc đặt $t=x^{2}+3$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 3}}\,{\rm{d}}\left( {{x^2} + 3} \right)} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 3} \right|} \right|_0^2 = \frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}$
Cho tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{3\ln x + 1}}{x}\,{\rm{d}}x} $. Nếu đặt $t = \ln x$
$t = \ln x \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{1}{x}{\rm{d}}x$, nhớ thực hiện bước đổi cận.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \ln x \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{1}{x}{\rm{d}}x$. Đổi cận $x = {\rm{e}} \Rightarrow t = 1;\,x = {\rm{1}} \Rightarrow t = 0$
Khi đó: $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{3\ln x + 1}}{x}\,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3t + 1} \right)\,{\rm{d}}t} $
Biết tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{3x}}.{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} - 1}}{b}$. Tính $T=a+2b$
$\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{3x}}.{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}}\left| \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = 0\n\end{array} \right. = \frac{{{{\rm{e}}^3} - 1}}{3}$
Vậy $a=3, b=3.$ Khi đó $T=a+2b=3+2.3=9$
Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {{x^2}\cos 2x{\rm{d}}x} $ bằng cách đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ {\rm{d}}v = \cos 2x{\rm{d}}x \end{array} \right.$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
Tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ {\rm{d}}v = \cos 2x{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = 2x{\rm{d}}x\\ v = \frac{1}{2}sin2x \end{array} \right.$
$I = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {{x^2}\cos 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{x^2}\sin 2x\left| {{}_0^{\rm{\pi }}} \right. - \int\limits_0^{\rm{\pi }} {x\sin 2x{\rm{d}}x} $
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Tìm khẳng định sai?
Lý thuyết SGK.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$. Vậy A sai.
Tích phân $I = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} dx$ bằng:
$\int\limits_c^d {\frac{1}{{2\sqrt {ax + b} }}dx} = \left. {\sqrt {ax + b} } \right|_c^d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $I = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} dx = \left. {\sqrt {x + 2} } \right|_0^2 = 2 - \sqrt 2 $