Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến $\vec{n}$(2; 1; 1)?
Tìm tọa độ điểm G.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
x = $\frac{2+(-2)+0}{3}=0$; y = $\frac{1+3+2}{3}=2$; z = $\frac{3+(-1)+1}{3}=1$
=> G( 0; 2; 1)
+ Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và có vecto pháp tuyến $\vec{n}$(2; 1; 1) có phương trình là:
2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0
Hay 2x+ y+ z – 3= 0
Chọn đáp án A.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)?
Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có $\vec{n}\perp\vec{AB}$ và $\vec{n}\perp\vec{AC}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$].
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\vec{AB}$(-4, 1, 3); $\vec{AC}$(0, -1, 1)
=> [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (4, 4, 4]
Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có $\vec{n}\perp\vec{AB}$ và $\vec{n}\perp\vec{AC}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]
Chọn $\vec{n}$(1; 1; 1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}$(1; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến $\vec{n}$(1; 1; 1) là:
1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0
Chọn đáp án B.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: $\vec{n}\perp\vec{AB}$ và $\vec{n}\perp\vec{CD}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{AB}$, $\vec{CD}$].
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\vec{AB}$(-4;5-1); \vec{CD}(-1;0;-2)
=> [$\vec{AB}$, \vec{CD}] = (10; 9; 5)
Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: $\vec{n}\perp\vec{AB}$ và $\vec{n}\perp\vec{CD}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{AB}$, $\vec{CD}$].
Chọn $\vec{n}$ = (10; 9; 5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}$ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:
10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Chọn đáp án B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng (d) : $\frac{x-10}{3}=\frac{y+20}{-4}=\frac{z+19}{1}$ ?
Tìm tọa độ điểm G.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
x = $\frac{1+2+3}{3}=2$; y = $\frac{0+1+2}{3}=1$; z = $\frac{(-1)+(-1)+(-1)}{3}=-1$
=> G( 2; 1; -1)
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: $\vec{n}$(3; -4; 1)
.+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến là : $\vec{n}$(3; -4; 1)
=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0
Hay 3x – 4y + z- 1= 0
Chọn đáp án B.
Xác định các giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây là cặp mặt phẳng song song với nhau: 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 = 0?
Cho hai mặt phẳng (α1)A1x+B1y+C1z+D1=0(α1); (α2)A2x+B2y+C2z+D2=0
Vị trí tương đối giữa (α1)và (α2) được xác định như sau:
(α1)//(α2) khi và chỉ khi
$\vec{n1}$=k.$\vec{n2}$ và D1≠D2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai mặt phẳng 2x+my+3z–5=0 và nx–8y–6z+2=0 song song với nhau khi và chỉ khi:
$\frac{2}{m}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{6}$ # $\frac{-5}{2}$
=> m = 4; n = -4
Vậy đáp án A đúng.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng (1). Hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau đúng hay sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O≡A, $\vec{OB}$=$\vec{i}$ ,$\vec{OD}$=$\vec{j}$,$\vec{OA}$=$\vec{k}$ .
Ta có tọa độ các điểm lần lượt như sau: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1), B'(1; 0; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1).
Mp(AB’D’) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ $\vec{AB}$=(1; 0; 1) và $\vec{AD^{’}}$=(0; 1; 1) nên $\vec{n}$=[$\vec{AB}$;$\vec{AD^{’}}$]=(1; 1; −1)
Vậy phương trình của mp(AB’D’) là:
1(x – 1) + 1(y – 0) – 1(z – 0) = 0 hay x + y – z = 0
Tương tự ta tìm được phương trình của mp(BC’D) là:
x + y – z – 1 = 0
ta có: $\frac{1}{1}=\frac{1}{1}$ ≠ $\frac{-1}{-1}$ # $\frac{0}{-1}$
suy ra mp(AB’D’) // mp(BC’D)
Vậy đáp án là Đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:
$d_{1}$: $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$ và $d_{2}$: $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}}$ (2; 1; 1)
Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$ (1; -1; 2)
Ta có: [$\vec{u_{1}}$,$\vec{u_{2}}$] = ( 3; -3; -3); $\vec{MN}$ (1; 1;0)
Do $\vec{MN}$ . [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng $d_{1}$và $d_{2}$ cắt nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng$d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là
$\vec{n}$ = [$\vec{u_{1}}$,$\vec{u_{2}}$] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0
Chọn đáp án B.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1; -3; 2) và song song với trục Ox, Oy?
Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$(1; 0; 0)
Trục Oy có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$(0; 1; 0)
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Ox và Oy nên $\vec{n}\perp$$\vec{u_{1}}$ và $\vec{n}\perp$$\vec{u_{2}}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$]
Chọn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$(1; 0; 0)
Trục Oy có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$(0; 1; 0)
Ta có: [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$] = (0; 0; 1)
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Ox và Oy nên $\vec{n}\perp$$\vec{u_{1}}$ và $\vec{n}\perp$$\vec{u_{2}}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$]
Chọn $\vec{n}$(0; 0; 1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:
0(x- 1) + 0( y+ 3) + 1( z- 2) = 0 hay z - 2 = 0
Chọn đáp án C.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + 2y - 2z + 1 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
x+ 2y – 2z + d = 0
Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có:
d(M; (P))= 3
=> $\frac{\mid-1 + d\mid}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}$= 3
=> $\mid-1 + d\mid=9$
=> -1 + d = 9 hoặc -1 + d = -9
=> d = 10 hoặc d = -8
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là
x+ 2y – 2z + 10 = 0 hoặc x+ 2y - 2z – 8= 0
Chọn đáp án C.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (β): 2x - 4y + 4z + 3 = 0 và cách điểm A(2; -3; 4) một khoảng bằng 3. Viết phương trình mặt phẳng (α)?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
2x - 4y + 4z + d = 0 (d ≠ 3)
Vì d(A; (P))= 3
=>$\frac{\mid4+12+16 + d\mid}{\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}}=18$
=> $\mid32 + d\mid=18$
=> 32 + d = 18 hoặc 32 + d = -18
=> d = -14 hoặc d = -50
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là
2x - 4y+ 4z – 14= 0 và 2x – 4y + 4z – 50 = 0
Chọn đáp án A.