Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy)?
Mặt phẳng (Oxy) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và lần lượt vuông góc với các trục Oz từ đó ra suy ra được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$(0;0;1) và là vectơ chỉ phương của trục Oz.
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng:
0.(x – 0) + 0.(y – 0) + 1.(z – 0) = 0 hay z = 0.
Vậy đáp án C đúng.
Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với mặt phẳng tọa độ (Oxy)?
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và song song với mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta có: mp(P) // mp(Oxy) nên mp(P) ⊥ Oz
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và song song với mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta có: mp(P) // mp(Oxy) nên mp(P) ⊥ Oz
=> mp(P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$=(0;0;1)
Vậy phương trình của mp(P) là:
0(x – 2) + 0(y – 60) + 1(z + 3) = 0 hay z + 3 = 0
Vậy đáp án B đúng.
Lập phương trình của mặt phẳng: Chứa trục Ox và điểm A(4; -1; 2)?
Mặt phẳng chứa trục tọa độ và đi qua một điểm nên ra sẽ xác định được cặp VTCP của mặt phẳng đó là một vectơ đơn vị và một vectơ có điểm đầu là góc tọa độ O, điểm cuối là điểm mà mặt phẳng đó đi qua. Từ đó ta xác định được VTPT của mặt phẳng là tích có hướng của cặp VTCP và viết được phương trình mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi (α) là mặt phẳng qua A và chứa trục Ox, thì (α) qua điểm O(0; 0; 0) và chứa giá của các vectơ $\vec{OA}$(4; −1; 2) và $\vec{i}$(1;0;0). Khi đó $\vec{n}$=[$\vec{OA}$,$\vec{i}$]=(0; 2; 1)là vectơ pháp tuyến của (α).
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2y + z = 0.
Vậy đáp án C đúng.
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD?
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ $\vec{AB}$=(−4; 5; −1) và $\vec{CD}$=(−1; 0; 2), n⃗ =[$\vec{AB}$;$\vec{CD}$]=(10; 9; 5)
Vậy phương trình của (P) là:
10(x – 5) + 9(y – 1) + 5(z – 3) = 0
hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Vậy đáp án D đúng.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 7 = 0?
Nếu mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) thì vectơ pháp tuyến của (Q) sẽ có phương song song với mặt phẳng (P), hay còn gọi đó là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $\vec{n}$=(2; 2; 1)⊥(Q).
Do mặt phẳng (P) ⊥ (Q) nên $\vec{n}$ là vectơ song song hay nằm trên ( P). Vectơ $\vec{AB}$ có giá nằm trên (Q).
Vì $\vec{n}$ và $\vec{AB}$ không cùng phương nên $\vec{m}$ = [$\vec{n}$ ,$\vec{AB}$] = (4; 0; −8) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (Q) qua A(1; 0; 1) và vuông góc với $\vec{m}$ có phương trình:
4(x – 1) + 0.(y – 0) – 8(z – 1) = 0 hay x – 2z + 1 = 0.
Vậy đáp án B đúng.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
Sử dụng phương trình đoạn chắn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên
A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:
$\frac{5}{a}+\frac{4}{a}+\frac{3}{a}=1$=> $\frac{12}{a}$ = 1 => a = 12
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{12}+\frac{y}{12}+\frac{z}{12}=1$ hay x+ y + z – 12 = 0
Chọn đáp án A.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)?
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI
=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vectơ $\vec{IA}$ ( 3; 1; -1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (P):
3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0
Chọn đáp án B.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC?
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\vec{n}$= $\vec{BC}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng BC có vecto chỉ phương $\vec{n}$ = $\vec{BC}$ = (-2; 1;1).
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\vec{n}$= $\vec{BC}$ = (-2; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0
Chọn đáp án C.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đường thẳng AB nhận $\vec{AB}$ (-1 ; -2 ; 1) làm vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (2 ; -1 ; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là $\vec{m}$ = [$\vec{AB}$ ,$\vec{n}$ ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1)
+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0
Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 hay 3x- 4y- 5z= 0
Chọn đáp án B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}$ = [$\vec{AB}$,$\vec{BC}$ ]
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có: $\vec{AB}$ (0; -4; -1); $\vec{BC}$ ( 1; 3; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là:
$\vec{n}$ = [$\vec{AB}$,$\vec{BC}$ ] = (- 5; -1; 4) = - ( 5; 1; -4)
=> Phương trình mặt phẳng (P) là:
5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0
=> a= 1; b= -4 và c= -3
nên a.b.c= 1.(-4).(-3) = 12
Chọn đáp án D.