Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)?
Viết phương trình A(x–x0) + B(y–y0) + C(z–z0) = 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{MN}$=(3; 2; 1); $\vec{NP}$=(1; −1; −1)
[$\vec{MN}$,$\vec{NP}$]=(−1; 4; −5)
=> Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là $\vec{n}$(1; −4; 5)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) là: (x – 1) – 4(y – 1) + 5(z – 1) = 0
Hay x – 4y + 5z – 2 = 0.
Vậy đáp án đúng là D.
Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α): 4x – 2y – 6z + 10 = 0?
Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ =(A;B;C)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\vec{n}$ (4;−2;−6).
Vậy đáp án đúng là C.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(2; -1; 3), N(4; 0; 1), P(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP)?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\vec{MN}$ = (2; 1; -2); $\vec{MP}$ = (-12; 6; 0)
[$\vec{MN}$, $\vec{MP}$ ] = (12; 24; 24)
=> một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là $\vec{n}$(1; 2; 2)
Vậy đáp án đúng là A.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1; 0; 0), N(0; 2; 0), P(0; 0; 3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP)?
Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn
=> ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$
hay 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Vậy đáp án đúng là B.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng (β): 2x – 3y + z + 5 = 0?
Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên (α) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$=(2;−3; 1).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên (α) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$=(2;−3; 1).
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; -2; 3), vậy (α) có phương trình:
2(x – 1) – 3(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay 2x – 3y + z – 11 = 0
Vậy đáp án D đúng.
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (α): 2x – 2y – z + 3 = 0?
Áp dụng công thức tính khoảng cách
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:
d(O,(α)) = $\frac{\mid2.(0)-2.(0)-(0)+3\mid}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=\frac{3}{3}=1$
Vậy đáp án B đúng.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây:
(α): x + 2y + 2z + 11 = 0
(β): x + 2y + 2z + 2 = 0
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
Ta lấy điểm M(0; 0; -1) thuộc (β), kí hiệu d((α), (β)) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có:
d((α),(β))=d(M,(α))=$\frac{\mid(0)+2.(0)+2.(-1)+11\mid}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{3}=3$
Vậy đáp án đúng là C.
Cho hai điểm A( 1; 2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến $\vec{n}$(2; -3; 1)?
Tìm tọa độ điểm M.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
x = $\frac{1+3}{2}=2$; y = $\frac{2+0}{2}=1$; z = $\frac{7+(-3)}{2}=2$
=> M(2; 1; 2)
+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:
2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0
Hay 2x -3y + z - 3= 0
Chọn đáp án D.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây:
(α): x – 2 = 0
(β): x – 8 = 0
Chứng minh hai mặt phẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy: (α) và (β) cùng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$=(1;0;0)
Dễ thấy điểm M(2; 0; 0) ∈ (α) nhưng M(2; 0; 0) ∉ (β) nên (α) // (β)
Do đó
d((α),(β))=d(M,(β))=$\frac{\mid2-8\mid}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=6$
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng 6.
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7) và B(4; 1; 3)?
Tìm tọa độ trung điểm của AB.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi I là trung điểm của AB, ta có tọa độ điểm I là:
x = $\frac{2+4}{2}=3$; y = $\frac{3+1}{2}=2$; z = $\frac{7+3}{2}=5$
Vậy I(3; 2; 5).
Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, ta có (α) đi qua I và có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{AB}$=(2;−2;−4)
Vậy phương trình của mặt phẳng (α) là:
2(x – 3) – 2(y – 2) – 4(z – 5) = 0 hay x – y – 2z + 9 = 0
Vậy đáp án A đúng.