Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≤ 2a2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ.
Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác: $m_a^2=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}$ ta có:
$MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+\frac{AB^{2}}{2}=2MI^{2}+\frac{a^{2}}{2}$
Suy ra
$MC^{2}+MD^{2}=2MJ^{2}+\frac{CD^{2}}{2}=2MJ^{2}+\frac{a^{2}}{2}$
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2(MI2 + MJ2) + a2
= $2(MK^{2}+\frac{IJ^{2}}{2})+a^{2}$
Ta có $IJ^{2}=\frac{IC^{2}+ID^{2}}{2}-\frac{CD^{2}}{2}=IC^{2}-\frac{a^{2}}{4}$
= $(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{2}$
Suy ra MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MK2 + $\frac{3a^{2}}{2}$
Do đó:
$4MK^{2}+\frac{3a^{2}}{2}\leq2a^{2}\n=>MK^{2}\leq\frac{a^{2}}{8}\n=>MK\leq\frac{a}{2\sqrt{2}}$
Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = $\frac{a}{2\sqrt{2}}$
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB = a,
$\widehat{ACB}$ = 300 , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S(A; a) và mặt phẳng ( SBC).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\widehat{SAB}$ = 600 => SA = $a\sqrt{3}$
Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .
Ta có: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$
⇒ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ => d(A, (SBC)) = AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ < a = R
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A;a) theo giao tuyến là một đường tròn.
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB = a,
$\widehat{ACB}$ = 300 , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Mặt cầu S(A;a) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tính bán kính của (C)?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\widehat{SAB}$ = 600 => SA = $a\sqrt{3}$
Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .
Ta có: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$
⇒ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ => d(A, (SBC)) = AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ < a = R
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A; a) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
$r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a}{2}$
Vậy đáp án đúng là B.
Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:
AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2
DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2
DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2
Xét ∆DBC có:
DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2
=> ∆DBC vuông tại B
Gọi O là trung điểm của CD
∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến
=> OA = OC = OD = $\frac{CD}{2}$ (1)
∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến
=> OB = OC = OD = $\frac{CD}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
OA = OB = OC = OD = $\frac{CD}{2}$
=> A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; $\frac{CD}{2}$)
=> R = $\frac{CD}{2}$ = $\frac{5a\sqrt{2}}{2}$
Vậy đáp án đúng là D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên
SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Gọi G là trọng tâm của ∆SAB đều => G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB
Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.
∆SAB đều cạnh a, G là trọng tâm
$SG=\frac{2}{3}SH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Ta có: $HO=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$
Trong tam giác vuông SGI tại G :
$SI=\sqrt{SG^{2}+HO^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Cạnh bên SA vuông góc mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 60º. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)
=> Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCA}$ = 60º
Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:
AC2= AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2
SA = AC . tan$\widehat{SCA}$ = a$\sqrt{2}$. tan60º = a$\sqrt{6}$
SC2 = SA2 + AC2 = 6a2 + 2a2 = 8a2
SB2 = SA2 + AB2 = 6a2 + a2 = 7a2
Ta có:
SB2 + BC2 = 7a2 + a2 = 8a2 = SC2
=> ∆SBC vuông tại B
Khi đó, ta có: $\widehat{SAC}$ = $\widehat{SBC}$ =90º
Gọi O là trung điểm của SC
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC
$R=SO=\frac{SC}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}\n$
$V=\frac{4}{3}\pi.R^{3}=\frac{8\pi.a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Vậy đáp án B đúng.
Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và SC hợp với (ABC) góc 45º. Bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là?
$(SAB)\perp(ABC)$
$(SAC)\perp(ABC)$
$(SAB)\cap(SAC)=SA$
$=>SA\perp(ABC)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$(SAB)\perp(ABC)$
$(SAC)\perp(ABC)$
$(SAB)\cap(SAC)=SA$
$=>SA\perp(ABC)$
AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)
=> Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCA}$ =45º
Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:
AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25 =>AC=5
SA = AC.tan$\widehat{SCA}$ =5.tan45º = 5
SC2 = SA2 + AC2 = 25 + 25 = 50 =>SC = 5$\sqrt{2}$
SB2 = SA2 + AB2 = 25 + 9 = 34
Ta có:
SB2 + BC2 = 34 + 16 = 50 = SC2
=> ∆SBC vuông tại B
Khi đó, ta có: $\widehat{SAC}$ = $\widehat{SBC}$ =90º
Gọi O là trung điểm của SC
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC
$R=SO=\frac{SC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
Vậy đáp án C đúng.
Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ).
Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là $\frac{128\pi}{3}$ m3. Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi 4x ( m) là đường sinh hình trụ.
Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x (m).
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu có bán kính R= x.
Do đó, thể tích bồn chứa nước là:
$\pi(x^{2}.4x+\frac{4}{3}x^{3})=\frac{128\pi}{3}$
$\frac{16\pi.x^{3}}{3}=\frac{128\pi}{3}$
$=>x^{3}=8$
=> x = 2
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
π(4x2 + 2.x.4x) = 48π(m2) .
Chọn đáp án D.
Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.
Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm
=> độ dài một cạnh là a = 1 cm
Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r = $\frac{a}{2}=\frac{1}{2}$ cm
Diện tích của mặt cầu là: S = 4π($\frac{1}{2}$)2 = π cm2
Chọn đáp án D.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R1 = IA = $\frac{AC^{’}}{2}$
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R2 = IO
Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R3 = IM
Ta có R1, R2, R3 như trên hình vẽ.
$R_{1}=\frac{AC^{’}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(AC^{’})^{2}+(A^{’}C^{’})^{2}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+(\sqrt{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\n$
$R_{2}=\frac{a}{2}$
$R_{3}=\sqrt{MO^{2}+IO^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Kiểm tra ta thấy: R12 = R22 + R32
Chọn đáp án C.