Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì Δ tiếp xúc với S(O; R) tại M nên OM ⊥ Δ tại M.
Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:
AM2 = OA2 - OM2 = d2 - R2
⇒ AM = $\sqrt{d^{2}-R^{2}}$
Vậy đáp án B đúng.
Khối cầu ( S) có diện tích mặt cầu bằng (đvdt). Tính thể tích khối cầu?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do khối cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng nên ta có:
S = 4πR2 = 16π => R = 2
Thể tích của khối cầu là:
V = 43 πR3 = 43 π23 = 323 π (đvdt).
Chọn đáp án D.
Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng?
Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.
Thể tích khối cầu là:
V = 43 πR3 = 43 π(2a)3 = 323 πa3 .
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?
Chứng minh: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB .
Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .
SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AC .
Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là R = SC2 = a .
Chọn đáp án A.
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = $a\sqrt{3}$ ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.
+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.
+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có $\frac{SN}{SI}=\frac{SO}{SA}$
Suy ra R = SI = $\frac{SN.SA}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$
Mà AO = $\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ ,
SO = $\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$
Nên R = SI = $\frac{3a\sqrt{6}}{8}$
Chọn đáp án D.
Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có vô số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước. Tâm các mặt cầu ấy nằm trên trục của đường tròn (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm đường tròn).
Chọn đáp án D. vô số.
Cho hình trụ có bán kính r; O, O’ là tâm của hai đáy OO’ = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O’. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
Một mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O′ có đường kính bằng OO′, từ đó suy ra bán kính R của khối cầu (S) và sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: $S=4\pi.r^{2}; V=\frac{4}{3}\pi.r^{3}$
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ $S=2\pi.r.h$ ; $V=\pi.r^{2}.h$ và so sánh.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt cầu có đường kính 2r nên có bán kính là r và có diện tích:
$S=4\pi.r^{2}; V=\frac{4}{3}\pi.r^{3}$
Mặt trụ có bán kính r và chiều cao 2r nên có:
$S_{xq}=2\pi.r.h=2\pi.r.2r=4\pi.r^{2}$
$S_{tp}=S_{xq}+2S_{d}=4\pi.r^{2}+2\pi.r^{2}=6\pi.r^{2}$
$V=\pi.r^{2}.h=\pi.r.2r=2\pi.r^{2}$
Do đó A, B, D đúng, chọn đáp án C.
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
Sử dụng kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp.
– Hình chóp có đáy là một đa giác nội tiếp thì luôn có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
– Hình lăng trụ có đáy là một đa giác nội tiếp thì luôn có một mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Đúng vì hình tứ diện là hình chóp tam giác nên đáy nội tiếp được đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Đáp án B: Đúng vì Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều nên luôn nội tiếp đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.
Đáp án C: Sai vì nếu đáy của hình hộp là hình bình hành thì không nội tiếp được đường tròn.
Đáp án D: Đúng vì Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp được đường tròn nên có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Chọn đáp án C.
Cho ba điểm A, C, B nẳm trên một mặt cầu, biết rằng góc $\widehat{ACB}=90^{0}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Sai, AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chưa đủ điều kiện kết luận AB là đường kính của mặt cầu.
Đáp án B: Đúng, ba điểm A, B, C xác định mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC nội tiếp đường tròn giao điểm của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu.
Đáp án C: Sai vì tam giác ABC không cân tại C mà chỉ là tam giác vuông tại C.
Đáp án D: Sai, mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến của một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chọn đáp án B.
Nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau đúng hay sai?
Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, BC, CD, AD, AC, BD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:
AM = AR = AQ
BM = BN = BS
CN = CP = CR
DP = DQ = DS
Ta chứng minh: AB + CD = AC +BD = AD + BC.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, BC, CD, AD, AC, BD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:
AM = AR = AQ
BM = BN = BS
CN = CP = CR
DP = DQ = DS
Ta chứng minh: AB + CD = AC +BD = AD + BC.
Ta có
AM + MB + CP + PD
= AR + RC+ BS + SD
= AQ + QD + BN + NC
Hay: AB + CD = AC +BD = AD + BC.
Vậy nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau là Đúng.