Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do tâm mặt cầu cách đều hai điểm A, B nên tập hợp tâm cần tìm chính là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.
Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy đáp án đúng là C. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng r2?
Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét tam giác OAH vuông tại H có: OA = r; OH = r2
=> $HA=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{r^{2}-(\frac{r}{2})^{2}}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$
Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\frac{r\sqrt{3}}{2}$
Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến?
Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Py-ta-go.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét tam giác OHA vuông tại H có:
$HA=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{r^{2}-a^{2}}$
Xét tam giác OKB vuông tại K có:
$KB=\sqrt{OB^{2}-OK^{2}}=\sqrt{r^{2}-b^{2}}$
Mà 0 < a < b < r nên 0< $r^{2}-b^{2}$<$r^{2}-a^{2}$
=>$\sqrt{r^{2}-b^{2}}$ < $\sqrt{r^{2}-a^{2}}$
=> KB < HA
Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu) đúng hay sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho hình chóp S.A1A2A3...An có các cạnh bên bằng nhau.
Gỉa sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.
Ta có: SA1 = SA2 = SA3 = ... = SAn
Suy ra ΔSIA1= ΔSIA2 = ΔSIA3 = ... = ΔSIAn
Suy ra IA1 = IA2 = IA3 = ... = IAn
Đa giác A1A2A3...An là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.
Trong mp(SAI), đường trung trực của SA1 cắt SI tại O, ta có:
OS = OA1 (1)
OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn (2)
Từ (1) và (2) suy ra OS = OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn
Vậy hình chóp S.A1A2A3...An nội tiếp được trong một mặt cầu.
Vậy đáp án là Đúng.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A. đúng vì Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều nên luôn nội tiếp đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.
B. sai vì chỉ khi hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì mới có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
C. đúng vì các mặt phẳng cách đều tâm mặt cầu thì cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.
D. đúng vì Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp được đường tròn nên có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Chọn đáp án B.
Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông?
Trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, vì tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyền
=>$MO=\frac{AB}{2}=R$
Vậy tập hợp các điểm M nhìn AB dưới một góc vuông nằm trêm mặt cầu đường kính AB
Ngược lại, lấy M thuốc mặt cầu đường kính AB thì $MO=\frac{AB}{2}$ do đó nếu M khác A và B thì tam giác MAB vuông tại M, còn khi M = A hoặc M = B ta cũng coi M nhìn AB một góc vuông.
Vậy: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề bài, ABCD là một hình vuông cạnh a nên:
$AC=DB=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
Đồng thời ΔASC và ΔBSD là các tam giác vuông cân tại S
=> $SI=a\sqrt{2}$
=> IA = IB = IC = ID = $\frac{SI}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
(I là tâm của hình vuông ABCD)
Vậy mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D có tâm là I và bán kính R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại M, N, P. H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC), ta có:
OM ⊥ AB => BM ⊥ AB
(theo định lí ba đường vuông góc)
Tương tự: HN ⊥ BC, HP ⊥ AC
Ta có: OM = ON = OP = R
Khi đó ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP
Suy ra HM = HN = HP
Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Vậy tâm O của mặt cầu thuộc đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại tâm H của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lấy điểm O thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại N, P, M, ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ BC, HP ⊥ CA
OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CA (1)
Mặt khác: HM = HN = HP => ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP
OM = ON = OP (2)
Từ (1) và (2) suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S(O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D. So sánh MA.MB và MC.MD?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.
Trong mặt phẳng (P) thì các tích MA.MB và MC.MD là giá trị của phương tích của điểm M đối với đường tròn (C), do đó:
MA.MB = MC.MD.
Vậy đáp án C đúng.
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho (ACB)=90o.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: đúng ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (ABC), giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu. Trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, với giả thiết $\widehat{ACB}=90^{0}$ suy ra AB là đường kính của đường tròn giao tuyến.
Đáp án B và C sai vì chưa kết luận được AB là đường kính của mặt cầu hay không là đường kính của mặt cầu.