Cho hàm số $y = \sqrt[4]{{{x^2} - 3}}$ , phương trình $y’ = 0$ có mấy nghiệm thực.
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u’.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y’ = {\left[ {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^{\frac{1}{4}}}} \right]^\prime } = \frac{1}{4}{\left( {{x^2} - 3} \right)^{\frac{{ - 3}}{4}}}.2x = \frac{1}{{2\sqrt[4]{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^3}}}}}$ với $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$
Ta thấy $y’ > 0$ $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$ do đó phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm.
Cho các hàm số $y = {x^\alpha }\,;\,y = {x^\beta }\,;\,y = {x^\gamma }$ có đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị ta có:
+ Hàm số $y = {x^\gamma }$ nghịch biến trên $\left( {0\,;\, + \infty } \right)$ nên $\gamma < 0$.
+ Hàm số $y = {x^\beta }$ nằm dưới đường thẳng $y = x$ nên $0 < \beta < 1$.
+ Hàm số $y = {x^\alpha }$ nằm trên đường thẳng $y = x$ nên $\alpha > 1$.
Vậy $\gamma < \beta < \alpha $
Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{\frac{3}{5}}} + {\left( {x - 3} \right)^{ - 2}}$ là:
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 2 > 0\\ x - 3 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 2 \end{array} \right.\\ x \ne 3 \end{array} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\,.$
Tập xác định của hàm số $y = {\left( { - {x^2} + 3x + 4} \right)^{\frac{1}{3}}} + \sqrt {2 - x} $
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 3x + 4 > 0\\ 2 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 4\\ x \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 2$
Vậy TXĐ: $D = \left( { - 1;2} \right]$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$?
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} x \in \mathbb{R}$.
$ \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$.
Vậy $m \in \left\{ { - 3\,; - 2\,; - 1\,;0\,;1\,;2\,;3} \right\}$
Hàm số $y = {\left( {{x^3} - 3x} \right)^\pi }$ có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $y = {\left( {{x^3} - 3x} \right)^\pi }$ có tập xác định $D=\left( { - \sqrt 3 ;0} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$
$y\' = \pi \left( {3{x^2} - 3} \right){\left( {{x^3} - 3x} \right)^{\pi - 1}}$
$y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Cho hàm số $y = \sqrt[4]{{\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}}}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$
$y = {\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2} + 2}}} \right)^{\frac{1}{4}}}$
$ \Rightarrow y\' = \frac{1}{4}{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2} + 2}}} \right)^{\frac{1}{4} - 1}}.\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}.2x = {\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}}.\frac{x}{{2{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}}} \right)}^{ - \frac{3}{4}}}}}.\frac{x}{{2{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{y^3}}}.\frac{x}{{2{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{x}{{2{y^3}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$
Biết đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^4} + 1} \right)^{\sqrt 2 }}$ có dạng $a\sqrt b {x^3}{\left( {{x^4} + 1} \right)^{\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}}}$, biết $a\,,b\, \in {\mathbb{N}^*}$. Tính $S = {a^2} + {b^2}$
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u\'.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \sqrt 2 {\left( {{x^4} + 1} \right)^{\sqrt 2 - 1}}.4{x^3} = 4\sqrt 2 {x^3}{\left( {{x^4} + 1} \right)^{\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}}}$. Vậy $a=4, b=2$.
Vậy $S = {a^2} + {b^2} = {4^2} + {2^2} = 20$
Biết đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{\pi }{2}}}$ có dạng $\pi x{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{\pi }{a} - b}}$. Tính $S = {a^3} - {b^2}$?
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u\'.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = \pi x.{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{\pi }{2} - 1}}$. Vậy $a=2, b=1$.
Khi đó $S = {a^3} - {b^2} = {2^3} - {1^2} = 7$
Cho hàm số $y = \sqrt[5]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$ có đạo hàm là ${y’}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u’.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y = \sqrt[5]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{2}{5}}}$
$y’ = \frac{4}{5}.x.{\left( {{x^2} + 1} \right)^{ - \frac{3}{5}}} = \frac{{4x}}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}}}$
$y’\left( 0 \right) = 0$, $y’\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{5\sqrt[5]{8}}}$, $y’\left( 1 \right) = \frac{4}{{5\sqrt[5]{8}}}$
Vậy $y’\left( { - 1} \right) < y’\left( 0 \right) < y’\left( 1 \right)$