Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {\left( {{x^2} + m} \right)^{\sqrt 2 }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ là:
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định ${x^2} + m > 0$. Để hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$$ \Leftrightarrow m > 0$
Cho đồ thị các hàm số $y = {x^a}$, $y = {x^b}$, $y = {x^c}$ trên miền $\left( {0;\, + \infty } \right)$ ( hình bên dưới)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $b =1$, $0 < c <1$, $a > 1$.
Vậy $a>b>c$.
Trong các hàm số sau hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số $y = {x^{\frac{1}{5}}}$.
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định của hàm số $y = {x^{\frac{1}{5}}}$ là $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
Ta có hàm số $y = {x^\pi }$ cũng có tập xác định là $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào xác định với mọi giá trị thực của $x$?
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $y = {\left( {2{x^2} + 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$ xác định $ \Leftrightarrow 2{x^2} + 1 > 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$.
Vậy đáp án đúng là B.
Đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\frac{1}{3}}}$ là:
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\frac{1}{3} - 1}}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^\prime } = \frac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}}}$
Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{\frac{3}{5}}}$ là:
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 2 \end{array} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)$.
Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số $y = {x^a},\,y = {x^b},\,y = {x^c}$ trên miền $\left( {0; + \infty } \right)$. Hỏi trong các số $a,\,b,\,c$ số nào nhận giá trị trong khoảng $\left( {0;\,\,1} \right)$?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $0 < c < 1$
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} - x} \right)^{ - 6\cos \frac{\pi }{4}}}$.
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow {x^2} - x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < 0 \end{array} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Trong các hàm dưới đây , hàm số nào đồng biến trên các khoảng xác định?
${\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .{x^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và có $y\' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Tìm tập tất cả các giá trị của $a$ để $\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}$?
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$ nếu $a>1$.
${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$ nếu $0 < a < 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^{\frac{5}{{21}}}} > {a^{\frac{2}{7}}} \Leftrightarrow {a^{\frac{5}{{21}}}} > {a^{\frac{6}{{21}}}}$ $ \Leftrightarrow 0 < a < 1$ (do $\frac{5}{{21}} < \frac{6}{{21}}$).
Cho các số $\alpha ,\,\beta $ là các số thực. Đồ thị các hàm số $y = {x^\alpha },{\rm{ }}y = {x^\beta }$ trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có: $\alpha > 1$, $0 < \beta < 1$.
Vậy $0 < \beta < 1 < \alpha $
Cho hàm số $y = {x^{ - \frac{\pi }{4}}}$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ . Vậy hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Vậy đáp án B sai.
Cho hàm số $y = {x^\alpha }$ với $x>0$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
Lý thuyết SGK
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án D là đúng.
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {2 - \sqrt {x - 1} } \right)^{\sqrt 3 }}$
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x - 1} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} < 2 \Leftrightarrow 1 \le x < 5$.
Vậy TXĐ: $D = \left[ {1;5} \right)$
Tìm tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {1 + \sqrt {x - 1} } \right)^{\sqrt 3 }}$
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 1 \ge 0\\\n1 + \sqrt {x - 1} > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$.
Vậy TXĐ: $D = \left[ {1;\, + \infty } \right)$
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}$
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 3{x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ x > \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right.$.
Vậy TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)$
Đạo hàm của hàm số $y = {\left( {\sqrt 2 {x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 }}$ là:
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u\'.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = - \sqrt 2 {\left( {\sqrt 2 {x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}{\left( {\sqrt 2 {x^2} - 1} \right)^\prime } = \frac{{ - 4x}}{{{{\left( {\sqrt 2 {x^2} - 1} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}$
Tính đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^4} + 1} \right)^{10}}$.
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u\'.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = 10{\left( {{x^4} + 1} \right)^{10 - 1}}.4{x^3} = 40{x^3}.{\left( {{x^4} + 1} \right)^9}$
Cho hàm số $y = {\left( {{x^2} - 4x + 10} \right)^{\frac{1}{4}}}$. Tính $y’\left( 2 \right)$
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u’.{u^{\alpha - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y’ = \frac{1}{4}{\left( {{x^2} - 4x + 10} \right)^{\frac{1}{4} - 1}}.\left( {2x - 4} \right) \\= \frac{1}{2}\left( {x - 2} \right){\left( {{x^2} - 4x + 10} \right)^{ - \frac{3}{4}}} \\= \frac{{x - 2}}{{2{{\left( {{x^2} - 4x + 10} \right)}^{\frac{3}{4}}}}}$
Vậy $y’\left( 2 \right) = 0$
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{ - 3}}$
Tập xác định của hàm số $y={x^\alpha }$
+ Với $\alpha $ nguyên dương, TXĐ là $\mathbb{R}$
+ Với $\alpha $ nguyên âm, TXĐ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
+ Với $\alpha $ không nguyên, TXĐ là $\left( {0;\, + \infty } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ x \ne 2 \end{array} \right.$