Biết rằng đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có 2 điểm cực trị là $A\left( {0;\,2} \right)$, $B\left( {2;\, - 14} \right)$. Tính $f\left( 1 \right)$.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A,B \in f\left( x \right)}\\ {A,B \in f’\left( x \right) = 0} \end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$
$y’ = 4a{x^3} + 2bx$
Đồ thị hàm số đi qua $A\left( {0;\,2} \right)$, $B\left( {2;\, - 14} \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2 & \left( 1 \right)\\ 16a + 4b + c = - 14 & \left( 2 \right) \end{array} \right.$
Hàm số đạt cực trị tại $B\left( {2;\, - 14} \right)$$\Rightarrow 32a + 4b = 0\,\left( 3 \right)$
Giải $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)$ ta được: $a = 1,\,b = - 8,\,c = 2$.
$\Rightarrow f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} + 2 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - 5$.
Cho đồ thị hàm số $y =f(x)= {x^3} + a{x^2} + bx + c$ đi qua điểm $M\left( {1;{\mkern 1mu} 0} \right)$ và có điểm cực trị $P\left( { - 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$. Tính giá trị biểu thức $T = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {M,P \in f\left( x \right)}\\ {P \in f’\left( x \right) = 0} \end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = 3{x^2} + 2ax + b$
Đồ thị hàm số $y = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ đi qua điểm $M\left( {1;{\mkern 1mu} 0} \right)$ và $P\left( { - 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$
$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + c = - 1\,\,\left( 1 \right)}\\ {4a - 2b + c = 8\,\,\left( 2 \right)} \end{array}} \right.$
Đồ thị hàm số có cực trị là điểm $P\left( { - 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$ $\Rightarrow - 4a + b = - 12\,\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 0\\ c = - 4 \end{array} \right.$.
Vậy $T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {3^2} + {0^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25$.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 1$ có ba điểm cực trị $A\left( {0;{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ thỏa mãn $BC = 4?$
Tìm tọa độ các điểm B, C rồi tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$
$y\' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\n{x^2} = m\n\end{array} \right.$
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m > 0$
Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số $A\left( {0;1} \right),{\rm{ }}B\left( {\sqrt m ;{\rm{ }} - {m^2} + 1} \right),{\rm{ }}C\left( { - \sqrt m ;{\rm{ }} - {m^2} + 1} \right).$
$BC = 4 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4.$
Biết $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b{\in\mathbb N ^*}$) là giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}$ có 2 điểm cực trị ${x_1},\,{x_2}$ sao cho ${x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1$. Tính giá trị biểu thức $S = {a^2} + {b^2}$.
Ứng dụng định lý vi -ét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$
$y\' = 2{x^2} - 2mx - 6{m^2} + 2$
Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow \Delta \' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2\left( { - 6{m^2} + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm > \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\\\nm < - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\n\end{array} \right.$
Theo hệ thức vi -et: $\left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} + {x_2} = m\\\n{x_1}{x_2} = - 3{m^2} + 1\n\end{array} \right.$
Ta có: ${x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 1 + 2m = 1 \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = 0\\\nm = \frac{2}{3}\n\end{array} \right.$
So sánh với điều kiện, vậy $m = \frac{2}{3}$. Khi đó $a = 2,\,b = 3$, vậy $S = {a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13$.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 1$ đạt cực trị tại các điểm ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$ là:
Ứng dụng định lý vi -et.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 3{x^2} + 12x + 3\left( {m + 2} \right)$
$y\' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m + 2 = 0\,\left( * \right)$
Hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$$\Leftrightarrow $ phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn $\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\Delta \' = 4 - \left( {m + 2} \right) > 0\\\n{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm < 2\\\nm < 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1$
Gọi S là tập hợp các giá trị dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y = {x^3} - 3m.{x^2} + 9x - m$ đạt cực trị tại ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 2$. Biết $S = \left( {a;b} \right]\,$, tính $T = b - a$.
Ứng dụng định lý vi - et.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 3{x^2} - 6m.x + 9$
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi $\Delta \' > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 27 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm > \sqrt 3 \\\nm < - \sqrt 3 \n\end{array} \right.\left( 1 \right)$
Theo hệ thức vi -et: ${x_1} + {x_2} = 2m$, ${x_1}.{x_2} = 3$.
Ta có: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 4 \Leftrightarrow 4{m^2} - 12 \le 4 \Leftrightarrow {m^2} \le 16 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2$
Kết hợp với điều kiện $\left( 1 \right)$ và điều kiện $m>0$. Vậy $S = \left( {\sqrt 3 ;2} \right]$, vậy $T = b - a = 2 - \sqrt 3 .$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right).$ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một cực trị?
Để hàm số có một cực trị khi và chỉ khi hàm số $f’\left( x \right) = 0$ có đúng một nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ {x^2} + 2mx + 5 = 0\,\,\,\left( 1 \right) \end{array} \right.$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một cực trị có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm$\Leftrightarrow \Delta ’ \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow - \sqrt 5 \le m \le \sqrt 5$.
TH2: Phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $-1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 > 0\\ - 2m + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > \sqrt 5 \\ m < - \sqrt 5 \end{array} \right.\\ m = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$
Vậy giá trị nguyên của $m \in\left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}.$
Biết rằng hàm số $y = 4{x^3}-6{x^2} + 1$ có đồ thị như hình vẽ sau:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Để vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như sau:
1. Giữ nguyên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ phần phía trên trục hoành.
2. Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ phần phía dưới trục hoành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như sau:
1. Giữ nguyên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ phần phía trên trục hoành.
2. Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ phần phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có đồ thị mới như hình vẽ:
Từ đồ thị ta thấy hàm số có 5 cực trị.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {x - 1} \right)} \right|$
Chú ý:
Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có n cực trị thì $y = f\left( {x \pm m} \right)$ cũng có n cực trị. Tương tự cho hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ và hàm số $y = \left| {f\left( {x \pm m} \right)} \right|$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để vẽ đồ thị $y = \left| {f\left( {x - 1} \right)} \right|$ ta thực hiện các bước sau:
- Tịnh tiến đồ thị $f\left( x \right)$ sang phải một đơn vị ta được đồ thị $f\left( {x - 1} \right)$
- Đồ thị của hàm số $y = \left| {f\left( {x - 1} \right)} \right|$ gồm hai phần:
+ Phần đồ thị của hàm số $f\left( {x - 1} \right)$ nằm phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số $f\left( {x - 1} \right)$ qua trục $Ox$.
Dựa vào đồ thị, hàm số $y = \left| {f\left( {x - 1} \right)} \right|$ có 7 cực trị.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đạo hàm $f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên dưới
Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
Tính chất hàm hợp và đồ thị hàm $f’\left( x \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đồ thị $ f’\left( x \right)$ ta có: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0\\ x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.$
Ta có: $g’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2}} \right)$
$g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f’\left( {{x^2}} \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1\\ {x^2} = 3\\ {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.$
$f’\left( {{x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < {x^2} < 1\\ {x^2} > 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} x > \sqrt 3 \\ x < - \sqrt 3 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Từ đó ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, hàm số có 5 cực trị.