Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right)$. Điểm cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là:
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 3} \end{array}} \right.$
Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=3$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^4}\;\forall x \in\mathbb R$. Số điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là?
Lập bảng biến thiên.
Chú ý: Có thể làm nhanh nếu hiểu về nghiệm bội lẻ và nghiệm bội chẵn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^4}\;= 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0\,\,\,}\\ {x = - 1}\\ {x = 2\,\,\,} \end{array}} \right.$. Do ${x = 0}$ là nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ), còn các nghiệm $x = - 1$ và $x = 2$ là nghiệm kép ( nghiệm bội chẵn) nên chỉ có ${x = 0}$ làm $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ "âm" sang "dương" theo chiều từ trái sang phải. Do đó ${x = 0}$ là điểm cực tiểu duy nhất của hàm đã cho.
Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên và xét bình thường.
Cho hàm số $y = {x^4} + m{x^2} - m - 5$ ($m$ là tham số) có 3 điểm cực trị khi đó các giá trị của $m$ là:
Đối với hàm trung phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c$:
- Nếu $a.b>0$ thì hàm số có 1 cực trị.
- Nếu $a.b<0$ thì hàm số có 3 cực trị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow a.b < 0 \Leftrightarrow m < 0$.
Cho hàm số $y = \left( {m + 1} \right){x^4} - m{x^2} + 3$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số có ba điểm cực trị.
$a.b<0$ hàm số có ba điểm cực trị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để hàm số có ba điểm cực trị thì $a.b > 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\left( { - m} \right) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {0;\, + \infty } \right)$
Hàm số $y = - {x^4} + 2m{x^2} + 1$ đạt cực tiểu tại $x=0$ khi:
Hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f’\left( {{x_0}} \right) = 0}\\ {f’’\left( {{x_0}} \right) > 0} \end{array}} \right.$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f’\left( x \right) = - 4{x^3} + 4mx$
$f’’\left( x \right) = - 12{x^2} + 4m$
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f’\left( {{0}} \right) = 0}\\ {f’’\left( {{0}} \right) > 0} \end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 = 0}\\ {m > 0} \end{array} \Leftrightarrow m > 0} \right.$
Gọi $M$, $n$ lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$. Khi đó giá trị của biểu thức ${M^2} - 2n$ bằng:
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 0 \Rightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\nx = - 3\n\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny\left( { - 1} \right) = 1 = m\\\ny\left( { - 3} \right) = - 3 = M\n\end{array} \right.$
Vậy ${M^2} - 2n = {\left( { - 3} \right)^2} - 2.1 = 7$
Điểm cực tiểu của hàm số $y = x\sqrt {4 - {x^2}} $ là:
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ { - 2;2} \right]$
$y\' = \sqrt {4 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$, $y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \sqrt 2 \\\nx = - \sqrt 2 \n\end{array} \right.$
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x = - \sqrt 2$
Cho hàm số $y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}}$. Tìm mệnh đề đúng?
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ { - 5;{\mkern 1mu} 1} \right]$
$y\' = \frac{{ - 4 - 2x}}{{2\sqrt {5 - 4x - {x^2}} }}$, $y\' = 0 \Leftrightarrow x = - 2$
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$
Cho hàm số $y = {x^3} - 3x$ có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là ${y_1},{\rm{ }}{y_2}.$ Khi đó:
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 & \Rightarrow y = - 2 = {y_2}\\\nx = - 1 & \Rightarrow y = 2 = {y_1}\n\end{array} \right.$( có thể lập bảng biến thiên để xác định).
Vậy ${y_1} + {y_2} = 0$.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m + 6} \right)x - m$ có cực trị.
Để hàm bậc ba có cực trị khi và chỉ khi hàm số có nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 3{x^2} - 2mx + m + 6 = 0$
Hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m + 6} \right)x - m$ có cực trị $\Leftrightarrow y\' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow \Delta \' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3\left( {m + 6} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 18 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm < - 3\\\nm > 6\n\end{array} \right.$
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1$đạt cực tiểu tại $x = 1$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f’\left( {{x_0}} \right) = 0}\\ {f’’\left( {{x_0}} \right) > 0} \end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = 3m{x^2} + 2x + {m^2} - 6$
$y’’ = 6mx + 2$
Để hàm số $y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ thì:
$\left\{ \begin{array}{l} y’\left( 1 \right) = 0\\ y’’\left( 1 \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 3m - 4 = 0\\ 6m + 2 > 0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 4 \end{array} \right.\\ m > - \frac{1}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$
Số giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y = {x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x + 1 - m$ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu là:
Giả sử ${y_1},\,{y_2}$ lần lượt là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu $\Leftrightarrow {y_1}.{y_2} < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = 3{x^2} - 5{x^2} - 2$, $y\' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 5{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = - \frac{1}{3}\n\end{array} \right.$
Với $x = 2$ thì $y = - 5 - m$
Với $x = - \frac{1}{3}$ thì $y = \frac{{73}}{{54}} - m$
Hàm số có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu trái dấu $\Leftrightarrow \left( { - 5 - m} \right)\left( {\frac{{73}}{{54}} - m} \right) < 0$$\Leftrightarrow - 5 < m < \frac{{73}}{{54}}$
$\Leftrightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}$. vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - \frac{1}{3}mx$ có hai điểm cực trị ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 0$. Giá trị của $m$ là
Để phương trình có 2 cực trị thì $\Delta > 0$ và kết hợp định lí Vi - et để giải.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = {x^2} - 2x - \frac{1}{3}m$, $y\' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - m = 0\left( 1 \right)$
Để hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3$(*)
Theo giả thuyết, ta có ${x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{2m}}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 3$. Kết hợp với điều kiện (*), vậy $m=3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1$, tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có hai cực trị ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 3$.
Ứng dụng định lí Vi - et.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + m$
Hàm số có hai cực trị ${x_1},\,{x_2}$ khi và chỉ khi $f\'\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 9 - 3m > 0$$\Leftrightarrow m < 3$ (*)
Theo hệ thức Vi - et: ${x_1} + {x_2} = 2$, ${x_1}.{x_2} = \frac{m}{3}$
Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {2^2} - 2\frac{m}{3} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$so sánh với điều kiện (*), vậy $m = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m + 2$,$m$ là tham số. Biết hàm số có hai cực trị ${x_1},\,{x_2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2 - 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$.
Ứng dụng định lí Vi -ét.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f\'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1$
Hàm số có hai cực trị ${x_1}$, ${x_2}$ khi và chỉ khi phương trình $f\'\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$.
$\Leftrightarrow \Delta \' = {m^2} + 4m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm > 0\\\nm < - 4\n\end{array} \right.$
Theo hệ thức vi -et ta có: ${x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)$, ${x_1}{x_2} = 1 - 2m$.
$T = x_1^2 + x_2^2 - 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$
$T = 4{m^2} - 8m - 18 = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 22 \ge - 22$. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng $-22$.
Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + mx + 1}}{{x - 1}}$ đi qua điểm $A\left( { - 1;\,1} \right)$ khi và chỉ khi $m$ bằng.
Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y = \frac{{u\'\left( x \right)}}{{v\'\left( x \right)}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là:
$d:y = \frac{{{{\left( { - {x^2} + mx + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}} = - 2x + m$
Ta có: $A\left( { - 1;\;1} \right) \in d \Leftrightarrow 1 = 2 + m \Leftrightarrow m = - 1$.
Biết đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là:
Cách 1: Đối với hàm bậc ba ta có thể tính nhanh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng cách lấy "$y$ chia ${y’}$".
Cách 2: Tìm hai cực trị và viết phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thực hiện phép chia $y$ cho ${y’}$ ta được: $y = y’.\left( {\frac{1}{3}x} \right) + \left( { - 2x + 1} \right)$. Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y = - 2x + 1$.
Đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
Cách 1:Đối với hàm bậc ba thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có thể tính bằng cách lấy $y$ chia ${y’}$.
Cách 2: Tìm hai cực trị, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y’ = - 3{x^2} + 6x + 9$
$y’ = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3\, \end{array} \right.$
Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left( { - 1; - 4} \right)$ và $B\left( {3;28} \right)$.
Suy ra đường thẳng AB có phương trình: $8x - y + 4 = 0$
Thay $N\left( {1;\,12} \right)$ vào phương trình AB ta được: $8.1 - 12 + 4 = 0.$ Vậy điểm N thuộc đường thẳng AB.
Chú ý: Đối với cách 1 có thể xem lại câu 17.
Hàm số $ f’\left( x \right)$ có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên dưới.
Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1). Trên K, hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị.
(2). Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_3}$.
(3). Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${x_1}$.
Cách 1: Đồ thị hàm số $ f’\left( x \right)$ cắt trục hoành tại n điểm phân biệt ( đổi dấu từ "âm" sang "dương" hoặc ngược lại) thì đồ thị có n cực trị.
Cách 1: Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị của hàm số $ f’\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu:
Như vậy, trên K, hàm số $y = f\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là ${x_1}$, điểm cực đại là ${x_2}$ và ${x_3}$ không phải là cực trị.
Vậy mệnh đề (1) và (3) đúng.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $ f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên dưới
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cách 1: Đồ thị hàm số $ f’\left( x \right)$ cắt trục hoành tại n điểm phân biệt ( đổi dấu từ "âm" sang "dương" hoặc ngược lại) thì đồ thị có n cực trị.
Cách 2: Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào đồ thị ta có $f’\left( x \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Vậy đồ thị hàm $y = f\left( x \right)$ có 3 cực trị.
Chú ý: Để làm cách 2 xem lại bài 19.