Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có $\left| z \right| = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 1 - {x^2} \Rightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right]$
$P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right| = \sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {2\left( {1 + x} \right)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} \right)} $
Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2\left( {1 + x} \right)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} \right)} ;{\rm{ }}x \in \left[ { - 1;1} \right].$
$f\'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {1 + x} \right)} }} - \frac{3}{{\sqrt {2\left( {1 - x} \right)} }} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{5} \in \left( { - 1;1} \right)$
Ta có $f\left( 1 \right) = 2;{\rm{ }}f\left( { - 1} \right) = 6;{\rm{ }}f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = 2\sqrt {20} \Rightarrow {P_{\max }} = 2\sqrt {20} $
Gọi ${z_1},{z_2},{z_3}$ là ba số phức thỏa mãn ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0$ và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Tính chất $\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0 \Rightarrow {z_3} = - ({z_1} + {z_2})$
$ \Rightarrow \left| {{z_1}^3 + {z_2}^3 + {z_3}^3} \right| = \left| {{z_1}^3 + {z_2}^3 - {{({z_1} + {z_2})}^3}} \right| = \left| { - 3{z_1}{z_2}({z_1} + {z_2})} \right| = \left| {3{z_1}{z_2}{z_3}} \right| = 3$
mà ${\left| {{z_1}} \right|^3} + {\left| {{z_2}} \right|^3} + {\left| {{z_3}} \right|^3} = 1 + 1 + 1 = 3$
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Cho các số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 5$. Gọi $A, B$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_1, z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích $S$ của $\Delta OAB$ với $O$ là gốc tọa độ.
$M(a; b)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=a+bi$ $ \Rightarrow \left| z \right| = OM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left| {{z_1}} \right| = OA = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = OB = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = AB = 5$
Vậy $\Delta OAB$ vuông tại $O$ $ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = 6$
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 $. Tìm giá trị lớn nhất của $T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\left( {z - 1} \right) + \left( {1 + i} \right)} \right| + \left| {\left( {z - 1} \right) - \left( {1 + i} \right)} \right|$
Đặt $w = z - 1$. Ta có $\left| w \right| = \sqrt 2 $ và $T = \left| {w + \left( {1 + i} \right)} \right| + \left| {w - \left( {1 + i} \right)} \right|$
Đặt $w = x + yi$. Khi đó ${\left| w \right|^2} = 2 = {x^2} + {y^2}$
$T = \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| + \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1.\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + 1.\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} $
$ \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right)} = \sqrt {2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4} \right)} = 4$
Vậy $\max T = 4$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\overline z - 2 - i} \right) = 25$. Biết tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $w = 2\overline z - 2 + 3i$ là đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $c$. Giá trị của $a+b+c$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)$ và $w = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\overline z - 2 - i} \right) = 25 \Leftrightarrow \left[ {a - 2 + \left( {b + 1} \right)i} \right]\left[ {a - 2 - \left( {b + 1} \right)i} \right] = 25$
$ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 25\,\left( 1 \right)$
Theo giả thuyết $w = 2\overline z - 2 + 3i \Leftrightarrow x + yi = 2\left( {a - bi} \right) - 2 + 3i \Leftrightarrow x + yi = 2a - 2 + \left( {3 - 2b} \right)i$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2a - 2\\\ny = 3 - 2b\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{{x + 2}}{2}\\\nb = \frac{{3 - y}}{2}\n\end{array} \right.\left( 2 \right)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: ${\left( {\frac{{x + 2}}{2} - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - y}}{2} + 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 100$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I (2; 5)$ và bán kính $R=10$
Khi đó $a+b+c=17$
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 $ và ${\left( {z + 2i} \right)^2}$ là số thuần ảo?
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$
${\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i$
Theo giả thuyết ta có: ${x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = y + 2\\\nx = - \left( {y + 2} \right)\n\end{array} \right.$
TH1: $x = y + 2$ thay vào $(1)$ ta được $2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0$$ \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z = 2$
TH2: $x = - \left( {y + 2} \right)$ thay vào $(1)$ ta được $2{y^2} - 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny = 1 + \sqrt 5 \\\ny = 1 - \sqrt 5 \n\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = - 3 - \sqrt 5 }\\\n{x = - 3 + \sqrt 5 }\n\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = - 3 - \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i}\\\n{z = - 3 + \sqrt 5 + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)i}\n\end{array}} \right.$
Vậy có tổng cộng 3 số phức thỏa mãn.
Cho $M$ là tập hợp các số phức $z$ thỏa $\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|$. Gọi $z_1, z_2$ là hai số phức thuộc tập hợp $M$ sao cho $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|$
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} \right)i} \right| = \left| {2 - y + xi} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phức là một đường tròn $\left( {O;1} \right)$ $\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$
Ta có ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Rightarrow {P^2} = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 $
Biết số phức $z$ có phần ảo khác $0$ và thỏa mãn $\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $ và $z.\bar z = 25$. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức $z$ trên?
Số phức $z=a+bi$ có $\overline z = a - bi$ và $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R},{\rm{ }}y \ne 0} \right)$
Ta có $\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {x + yi - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $
$ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 5$
Lại có $z.\bar z = 25 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25$ nên $25 - 4x - 2y = 5 \Leftrightarrow 2x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - 2x$
$\Rightarrow {x^2} + {\left( {10 - 2x} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow 5{x^2} - 40x + 75 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 5\\\nx = 3\n\end{array} \right.$
+ Với $x = 5 \Rightarrow y = 0$ không thỏa.
+ Với $x = 3 \Rightarrow y = 4$ thỏa mãn.
$ \Rightarrow z = 3 + 4i$
Vậy điểm $M\left( {3;{\rm{ }}4} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$
Cho các số phức $z_1, z_2$ khác nhau thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.$ Chọn phương án đúng.
Đặt $w = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}$ và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ và ${z_1} \ne {z_2}$ nên cả hai số phức đều khác 0. Đặt $w = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}$ và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = a$
$\overline w = \overline {\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}} \right)} = \frac{{\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{{{z_1}}} + \frac{{{a^2}}}{{{z_2}}}}}{{\frac{{{a^2}}}{{{z_1}}} - \frac{{{a^2}}}{{{z_2}}}}} = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_2} - {z_1}}} = - w$
Từ đó suy ra $w$ là số thuần ảo.
Cho $a, b, c$ là các số thực và $z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Giá trị của $\left( {a + bz + c{z^2}} \right)\left( {a + b{z^2} + cz} \right)$ bằng
$z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \bar z$ và ${{\bar z}^2} = z,\,z + \overline z = - 1,\,z\overline z = {\left| z \right|^2} = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \bar z$ và ${{\bar z}^2} = z,\,z + \overline z = - 1,\,z\overline z = {\left| z \right|^2} = 1$
Khi đó $\left( {a + bz + c{z^2}} \right)\left( {a + b{z^2} + cz} \right) = \left( {a + bz + c\overline z } \right)\left( {a + b\overline z + cz} \right)$
$ = {a^2} + ab\overline z + acz + abz + {b^2}z\overline z + bc{z^2} + ac\overline z + bc{\overline z ^2} + {c^2}z\overline z $
$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc.$