Cho số phức $z = 2 - i$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm điểm biểu diễn của số phức ${\rm{w}} = iz$
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M(a;b)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\rm{w}} = iz = 1 + 2i$. Vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là $M\left( {1;\,2} \right)$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + 2 - i = 0$. Khoảng cách từ điểm biểu diễn $z$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ đến điểm $M(3;-4)$ là:
Khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức $z$ đến điểm $M$ là $AM$, với A là điểm biểu diễn của số phức $z$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z + 2 - i \Leftrightarrow z = - 2 + i$. Điểm biểu diễn của số phức $z$ là $A\left( { - 2;\,1} \right)$
Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {5;\, - 5} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 $
Cho $A, B, C$ tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ${z_1} = 1 + 2i,\,{z_2} = - 2 + 5i,\,{z_3} = 2 + 4i$. Số phức $z$ biểu diễn bởi điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là:
Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $A\left( {1;2} \right),\,B\left( { - 2;5} \right),\,C\left( {2;4} \right)$. Gọi $D\left( {x;y} \right)$
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( {2 - x;4 - y} \right)$
Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 5\\\ny = 1\n\end{array} \right.$. Vậy $z = 5 + i$
Cho hai số phức ${z_1} = 2 + 3i$ và ${z_2} = - 3 - 5i$. Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = {z_1} + {z_2}$
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $w = {z_1} + {z_2} = 2 + 3i - 3 - 5i = - 1 - 2i$.
Vậy tổng phần thực và phần ảo bằng $-3$.
Cho hai số phức ${z_1} = 3 - i$ và ${z_2} = 4 - i$. Tính môđun của số phức $z_1^2 + {{\bar z}_2}$
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z_1^2 + {{\bar z}_2} = {\left( {3 - i} \right)^2} + \left( {4 + i} \right) = 12 - 5i$
Nên $\left| {z_1^2 + {{\bar z}_2}} \right| = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13$
Cho các số phức ${z_1} = 2 + 3i,\,{z_2} = 4 + 5i$. Số phức liên hợp của số phức $w = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)$ là
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $w = 2\left( {6 + 8i} \right) = 12 + 16i \Rightarrow \bar w = 12 - 16i$
Trong mặt phẳng phức, cho điểm $M$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z$. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M(a; b)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hình vẽ ta có $z = 3 + 4i \Rightarrow \,\,z - \bar z = \left( {3 + 4i} \right) - \left( {3 - 4i} \right) = \,\,8i$. Vậy A sai.
Cho số phức $z = 4 + 6i$. Tìm số phức $w = i.\bar z + z$
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = 4 + 6i \Rightarrow \overline z = 4 - 6i$
$w = i.\bar z + z = i\left( {4 - 6i} \right) + 4 + 6i = 10 + 10i$
Cho số phức $z = 3 + 2i$. Tìm số phức $w = z{\left( {1 + i} \right)^2} - \bar z$
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = 3 + 2i \Rightarrow \bar z = 3 - 2i$
$w = z{\left( {1 + i} \right)^2} - \bar z = \left( {3 + 2i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} - \left( {3 - 2i} \right) = - 7 + 8i$
Cho hai số phức ${z_1} = 2 - 3i,\,{z_1} = 1 + 2i$. Tính môđun của số phức $z = \left( {{z_1} + 2} \right){z_2}$
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Số phức $z=a+bi$ có môđun bằng $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = \left( {{z_1} + 2} \right){z_2} = \left( {2 - 3i + 2} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 10 + 5i$
$\left| z \right| = \left| {10 + 5i} \right| = \sqrt {125} = 5\sqrt 5 $
Cho số phức $z=a+bi$ (trong đó $a, b$ là các số thực) thỏa mãn $3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i$. Tính $a.b$
$\left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$
Khi đó $3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left( {a + bi} \right) - \left( {4 + 5i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 11i$
$ \Leftrightarrow \left( { - a - 5b} \right) - \left( {5a - 7b} \right)i = - 17 + 11i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 5b = - 17\\ - 5a + 7b = 11\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 2\\\nb = 3\n\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + 3i$
Vậy $ab = 6$
Cho số phức $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z = 3 + 2i.$ Tính $P = a + b.$
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left( {1 + i} \right)z + 2\bar z = 3 + 2i.$ ta có $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.$
Khi đó $\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 3 + 2i$
$ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)i + \left( {3a - b} \right) = 3 + 2i \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)i + \left( {3a - b} \right) = 3 + 2i$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na - b = 2\\\n3a - b = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{1}{2}\\\nb = - \frac{3}{2}.\n\end{array} \right. \Rightarrow P = - 1.$
Cho $i$ là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức $z = {\left( {{i^5} + {i^4} + {i^3} + {i^2} + i + 1} \right)^{20}}$ là
${i^2} = - 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $z = {\left( {{i^5} + {i^4} + {i^3} + {i^2} + i + 1} \right)^{20}} = {\left( {1 + i} \right)^{20}} = {\left( {2i} \right)^{10}} = - 1024.$
Cho số phức $z$ thỏa mãn: $(2 - 3i)z + (4 + i)\bar z = - {(1 + 3i)^2}$. Xác định phần thực và phần ảo của số phức $z$.
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $(2 - 3i)z + (4 + i)\bar z = - {(1 + 3i)^2} \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {4 + i} \right)\left( {a - bi} \right) = - \left( { - 8 + 6i} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3a + 2b = 4\\\na + b = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 2\\\nb = 5\n\end{array} \right.$
Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$, biết $\bar z = {\left( {\sqrt 3 + i} \right)^2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)$
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overline z = {\left( {\sqrt 3 + i} \right)^2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right) = - 4 + 4\sqrt 3 i \Rightarrow z = - 4 - 4\sqrt 3 i$
Cho số phức $\begin{array}{l}\nz = 1 + 3i\\\n\n\end{array}$, môđun của số phức ${\rm{w}} = {z^2} - i\overline z $
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\rm{w}} = {z^2} - i\overline z = {\left( {1 + 3i} \right)^2} - i\left( {1 - 3i} \right) = 5i - 11$$ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {146} $
Cho hai số phức ${z_1} = m - 1 + 3i$ và ${z_2} = 2 - mi$$\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $z_1.z_2$ là số thực
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
${z_1}.{z_2} = \left( {m - 1 + 3i} \right)\left( {2 - mi} \right) \\= 2m - 2 + 6i - {m^2}i + mi + 3m \\= 5m - 2 + \left( {6 + m - {m^2}} \right)i$
là số thực $ \Leftrightarrow 6 + m - {m^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m - 2 \end{array} \right.$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - \left| z \right|} \right| = \sqrt 2 $. Biết rằng phần thực của $z$ bằng $a$. Tính $\left| z \right|$ theo $a$
Số phức $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$
Theo đề ta có: $\left| {z - \left| z \right|} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + bi - \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{{a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}\left( {loai} \right)\\\n\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}\left( {t/m} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1 = 0$
Vậy $\left| z \right| = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}$
Tìm số phức $z$ thỏa mãn $2\left( {\bar z + 1} \right) + z - 1 = \left( {1 - i} \right){\left| z \right|^2}$ và $\left| z \right| < 1.$
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
$\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có $\left| z \right| < 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} < 1$
và $2\left( {\overline z + 1} \right) + z - 1 = \left( {1 - i} \right){\left| z \right|^2} \Leftrightarrow 2\left( {x - yi + 1} \right) + x + yi - 1 = \left( {1 - i} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 3x - 1} \right) + \left( {y - {x^2} - {y^2}} \right)i = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} - 3x - 1 = 0\\\n{x^2} + {y^2} - y = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{10{x^2} + 3x = 0}\\\n{y = 3x + 1}\n\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = - \frac{3}{{10}}}\\\n{y = \frac{1}{{10}}}\n\end{array}} \right.$
Vậy $z = - \frac{3}{{10}} + \frac{1}{{10}}i$
Cho số phức $z = a + bi$ thỏa mãn $z{\left( {1 + i} \right)^2} + \overline z = - 20 + 4i$. Giá trị ${a^2} - {b^2}$ bằng
$\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$
Ta có ${\left( {1 + 2i} \right)^2} = - 3 + 4i$. Theo giả thuyết ta có:
$\left( {a + bi} \right)\left( { - 3 + 4i} \right) + a - bi = - 20 + 4i \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4b} \right) + \left( {4a - 4b} \right)i = - 20 + 4i$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b = - 20\\ 4a - 4b = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.$
Do đó ${a^2} - {b^2} = 7$