Hàm số $y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} $ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $8 + 2x - {x^2} \ge 0 $
$9 - {(1-x)^2} \ge 0 $
$ {(1-x)^2} \le 9$
$ D = \left[ { - 2;\,4} \right]$
$y’ = \frac{{{{\left( {8 + 2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy hàm số đồng biến trên $\left[ { - 2;\,1} \right]$.
Hàm số $y = \sqrt {2x - {x^2}} $ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \left[ {0;2} \right]$
$y\' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}$; $y\' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)$
Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( {1;2} \right)$.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb R$?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y = - x\sqrt 2 + 1$, $y\' = - \sqrt 2 < 0$. Vậy hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
Hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$, $y\' = 3{x^2} - 3$. Hàm số không thể đồng biến trên $\mathbb R$.
Hàm số $y = {x^2} + 1$, $y\' = 2x$. Hàm số không thể đồng biến trên $\mathbb R$.
Hàm số $y = {x^3} + 3x + 1$, $y\' = 3{x^2} + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb R$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb R$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {1 - x} \right)\left( {x + 3} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho $f’\left( x \right) = 0$ và lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\,\,\,}\\ {x = - 3} \end{array}} \right.$
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 3;1} \right)$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Cho $f’\left( x \right) = 0$ và lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\,\,}\\ {x = - 3} \end{array}} \right.$
Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - 3;2} \right)$
Cho hàm số $y = x - 2\sqrt x $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Khảo sát sự biến thiên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $\left[ {0\,;\, + \infty } \right)$
$y\' = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$
$y\' = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$
Ta dễ dàng nhận thấy:
$y\' < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)$, $y\' > 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$
* Chú ý: Nếu chưa nhận thấy được ta có thể lập bảng biến thiên khảo sát như bình thường.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb R $ và $f’(x) > 0\,\,\,\forall x \in (0; + \infty )$. Biết $f(1) = 2$. Khẳng định nào sau đây dưới đây có thể xảy ra?
Định nghĩa về đồng biến, nghịch biến.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f(x)$ đồng biến trên $(0; + \infty )$ nên: $f(2) + f(3) > 2f(1) = 4$, $f(2) > f(1) = 2$, $f(2018) > f(2017)$.
Vậy khẳng định có thể xảy ra là $f( - 1) = 2$.
Cho hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
Định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đối với hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Với mọi ${x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right)$ và ${x_1} < {x_2}$ suy ra $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
Vậy $f\left( {\frac{4}{3}} \right) > f\left( {\frac{5}{4}} \right)$.
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb R$ và $f’(x) > 0,\;\forall x \in (0;\; + \infty )$, biết $f\left( 2 \right) = 1$. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
Định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do hàm số đồng biến trên $(0;\; + \infty )$ nên:
- $f\left( {2016} \right) < f\left( {2017} \right)$
- $f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right)$
- $f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right) = 1$.
Vậy phương án có thể xảy ra là $f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) = 4$.
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb R$?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y = {x^3} + 3x + \sqrt[3]{4}$ có $y\' = 3{x^2} + 3 > 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb R$?
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y = {x^3} + {x^2} + x$ có $y\' = 3{x^2} + 2x + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
Hàm số $y = \tan x$ có $y\' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
Hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 5}}$ có $y\' = \frac{3}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne - 5$.
Hàm số $y = - {x^3} - 6x + 7$ có $y\' = - 3{x^2} - 6 < 0,\,\forall x \in \mathbb R$. Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$.
Cho hàm số $y = \sin x + \cos x - \sqrt 3 x$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Xét sự biến thiên của hàm số.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = \cos x - \sin x - \sqrt 3 $$ = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 $.
Ta có $ - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 $ nên $\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 < 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$.
Tìm giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 2}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định là:
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y\' > 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng xác định.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 2} \right\}$
$y\' = \frac{{2 - m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y\' > 0,\,\forall x \in D$.
$ \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx + 1$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;{\rm{ }} + \infty } \right)$
Để hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;{\rm{ }} + \infty } \right)$ thì $y\' \ge 0,\,\forall x \in \mathbb R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D = \mathbb R$
$y\' = 3{x^2} + 2x + m$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ thì $y\' \ge 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
$ \Leftrightarrow \Delta \' = 1 - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}$
Cho hàm số $y = - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$?
Để hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ thì $y\' \le 0,\,\forall x \in \mathbb R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y\' = - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9$. Để hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ thì $y\' \le 0,\,\forall x \in \mathbb R$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\n\Delta \' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( {4m + 9} \right) \le 0\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 27 \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 9; - 3} \right]$
$ \Leftrightarrow m = \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
Tìm giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $y\' < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D =\mathbb R \backslash \left\{ {3 - m} \right\}$
$y\' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {x + m - 3} \right)}^2}}}$, để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $$$y\' < 0,\,\forall x \in D$.
$ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2$
Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2}}{{x - m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y\' > 0,\,\forall x \in D$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D =\mathbb R \backslash \left\{ m \right\}$
$y\' = \frac{{ - {m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y\' > 0,\,\forall x \in D$
$ \Leftrightarrow - {m^2} - m + 2 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1.$
$ \Leftrightarrow m = \left\{ { - 1;0} \right\}$
Vậy có 2 giá trị $m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}$ (với $m$ là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó, khi đó giá trị của $m$ là
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $y’ \le 0,\,\forall x \in D$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D =\mathbb R \backslash \left\{ 2 \right\}$
$y’ = \frac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}$, để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $y’ \le 0,\,\forall x \in D$
$ \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0\,,\,\,\forall x \in D$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < 0}\\ {4 - \left( { - 1} \right).\left( {2m + 1} \right) \le 0} \end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow 2m + 5 \le 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{5}{2}$
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = mx - \sin x$ đồng biến trên $\mathbb R$.
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ thì $y\' \ge 0,\,\forall x \in \mathbb R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$
$y\' = m - {\rm{cos}}x$, để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ thì $y\' \ge 0,\,\forall x \in \mathbb R$
$ \Leftrightarrow m \ge \cos x$. Mà $ - 1 \le \cos x \le 1$.
Nên $m \ge 1$.
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{\cos x - 2}}{{\cos x - m}}$ nghịch biến trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$.
Để hàm số nghịch biến thì $y^{\prime}<0,\,\forall x \in D$
Để hàm số đồng biến thì $y^{\prime}>0,\,\forall x \in D$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y = \dfrac{{\cos x - 2}}{{\cos x - m}} (1)$
Đặt $t = \cos x,\,0 < t < 1$ ta có hàm số $y = \dfrac{{t - 2}}{{t - m}}\;\left( 2 \right),\,0 < t < 1$
$\Rightarrow y^{\prime} = \dfrac{{ - m + 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}$. Để hàm số (1) nghịch biến trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$ thì hàm số (2) đồng biến trên khoảng $\left( {0;\,1} \right)$.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2 >0\\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy : $m \le 0$ hoặc $1 \le m < 2$