Cho số phức $z=a+bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R},a > 0} \right)$ thỏa mãn $\left| {z - 1 + 2i} \right| = 5$ và $z.\bar z = 10$. Tính $P=a-b$
Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z = a - bi$ và môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thuyết ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {z - 1 + 2i} \right| = 5}\\ {z.\bar z = 10} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 5\\ {a^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2b = 5\\ {a^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2b + 5\\ {\left( {2b + 5} \right)^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right.} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = - 1 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 3 \end{array} \right.$ (loại).
Vậy $P=a-b=3-(-1)=4$
Cho số phức $z = a + bi$$\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)$ thỏa $z.\bar z - 12\left| z \right| + \left( {z - \bar z} \right) = 13 - 10i$. Tính $S = a + b$
Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z = a - bi$ và có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo đề ta có:
$z.\bar z - 12\left| z \right| + \left( {z - \bar z} \right) = 13 - 10i \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 12\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2bi = 13 - 10i$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - 12\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ 2b = - 10 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + 25 - 12\sqrt {{a^2} + 25} = 13\\ b = - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + 25} = 13\\ \sqrt {{a^2} + 25} = - 1\left( {VN} \right) \end{array} \right.\\ b = - 5 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 12\\ b = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 12\\ b = - 5 \end{array} \right.$ vì $a>0$.
Vậy $S = a + b = 7$
Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = \left| {\bar z - 2 - 3i} \right|$. Hãy tìm $z$ có môđun nhỏ nhất.
Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\overline z = a - bi$ và có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi$
Ta có: $\left| {x + yi - i} \right| = \left| {x - yi - 2 - 3i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 3} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - 2y = 13 - 4x + 6y \\ \Leftrightarrow 4x = 12 + 8y \\ \Leftrightarrow x = 2y + 3$
Do đó ${\left| z \right|^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {2y + 3} \right)^2} + {y^2} = 5{y^2} + 12y + 9 = {\left( {y\sqrt 5 + \frac{6}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \frac{9}{5} \ge \frac{9}{5}$
Dấu "=" xảy ra$ \Leftrightarrow y = - \frac{6}{5}$, khi đó $x = \frac{3}{5} \Rightarrow z = \frac{3}{5} - \frac{6}{5}i$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 $. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$. Tính môđun của số phức $w = M + mi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = a + bi\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5$ (1)
$P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3$ (2)
Từ (1), (2) ta được: $20{a^2} + \left( {64 - 8P} \right)a + {P^2} - 22P + 137 = 0$ $(*)$
Phương trình $(*)$ có nghiệm khi $\Delta \' = - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0$
$ \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1258} $
Cho số phức $z = 3 - 5i$. Gọi $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của $z$. Giá trị của biểu thức $T = {x^4} + {y^4}$ là
Ta có $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của $z$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của $z$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 3 - 5i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 3 - 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - {y^2} = 3\\\n2xy = - 5\n\end{array} \right.$
Ta có: $T = {x^4} + {y^4} = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + 2{x^2}{y^2} = {3^2} + 2.{\left( {\frac{{ - 5}}{2}} \right)^2} = \frac{{43}}{2}$
Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\n\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|\\\n\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\n\end{array} \right.$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|\\\n\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\\n{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {x^2} + {y^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 1$
Do đó $z = 1 + i$ nên $\left| z \right| = \sqrt 2 $
Cho hai số phức ${z_1}=a_1+b_1i,\,{z_2}=a_2+b_2i$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$, $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 $. Tính $\left| {\left( {{a_1} - {a_2}} \right) - \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i} \right|$
Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thuyết ta có: $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2 = 1$
$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} = 3$$ \Leftrightarrow a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 + 2\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right) = 3$
$\Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
Khi đó $\left| {\left( {{a_1} - {a_2}} \right) + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 - 2\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right)} = \sqrt {2 - 2.\frac{1}{2}} = 1$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 8$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Khi đó $M + m$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi$
Ta có $8 = \left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| \ge \left| {z - 3 + z + 3} \right| = \left| {2z} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| \le 4$
Do đó $M = max\left| z \right| = 4$
Mà $\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {x - 3 + yi} \right| + \left| {x + 3 + yi} \right| = 8 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} = 8$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$8 = 1.\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} + 1.\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \right]} $
$ \Leftrightarrow 8 \le \sqrt {2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right)} \Leftrightarrow 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right) \ge 64$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 7 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \sqrt 7 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge \sqrt 7 $
Do đó $M = min\left| z \right| = \sqrt 7 $
Vậy $M + m = 4 + \sqrt 7 $
Tìm số thực $m$ để $\left| z \right| < 3$ với $z = 2 + mi$
Sô phức $z = a + bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {4 + {m^2}} $
$\left| z \right| < 3 \Leftrightarrow \sqrt {4 + {m^2}} < 3 \Leftrightarrow 4 + {m^2} < 9 \Leftrightarrow {m^2} < 5 \Leftrightarrow - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 $
Gọi $(H)$ là tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $1 \le \left| {z - 1} \right| \le 2$ trong mặt phẳng phức. Tính diện tích hình $(H)$
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi$
Theo đề ta có $\left| {z - 1} \right| = \left| {x - 1 + yi} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} $
Do đó $\begin{array}{l}\n1 \le \left| {z - 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \le 2 \Leftrightarrow 1 \le {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 4\\\n\n\end{array}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm $I (1; 0)$ bán kính $R=2$ và nằm ngoài đường tròn $I (1; 0)$ bán kính $r=1$.
Diện tích hình phẳng $S = \pi {.2^1} - \pi {.1^2} = 3\pi $