Tính môđun của số phức $z = {\left( {1 - 2i} \right)^2}$.
Triển khai hằng đẳng thức và rút gọn sau đó tìm môđun của số phức $z$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = {\left( {1 - 2i} \right)^2} = 1 - 4i + 4{i^2} = - 3 - 4i$
$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5$
Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = \left| {z + \bar z} \right| = 1$?
Gọi $z = x + yi,\,\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow z + \bar z = 2x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi,\,\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow z + \bar z = 2x$
Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left| z \right| = 1\\\n\left| {z + \bar z} \right| = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1\\\n\left| {2x} \right| = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} = 1\\\nx = \pm \frac{1}{2}\n\end{array} \right.$
$x = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{4} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Vậy có 4 số phức $z$ thỏa mãn
${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\,{z_2} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\,{z_3} = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\,{z_4} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
Nếu hai số thực $x, y$ thỏa mãn: $x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 - 4i} \right) = 1 + 24i$ thì $x+y$ bằng:
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 - 4i} \right) = 1 + 24i \Leftrightarrow \left( {3x + y} \right) + \left( {2x - 4y} \right)i = 1 + 24i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3x + y = 1\\\n2x - 4y = 24\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2\\\ny = - 5\n\end{array} \right.$. Vậy $x + y = - 3$
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {\overline z + 2 - i} \right| = 4$ là đường tròn tâm $I$ và có bán kính là $R$ lần lượt là:
Gọi $z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow \overline z = x - iy$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {\overline z + 2 - i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( { - y - 1} \right)i} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 16$
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {\overline z + 2 - i} \right| = 4$ là đường tròn tâm $I\left( { - 2; - 1} \right)$, bán kính $\ R=4$
Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức $z = x + yi$ thỏa mãn $\left| {z + 2 + i} \right| = \left| {\bar z - 3i} \right|$ là đường thẳng có phương trình:
$z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi$
$\left| {x + yi + 2 + i} \right| = \left| {x - yi - 3i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 3} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 4x + 2y + 5 = 6y + 9 \Leftrightarrow y = x - 1$
Có bao nhiêu số thực $a$ để số phức $z = a + 2i{\rm{ }}$ có môđun bằng 2?
Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + 4 = 4 \Leftrightarrow a = 0$. Vậy có 1 giá trị $a$ thỏa mãn.
Tìm số thực $m$ sao cho $\left( {{m^2} - 1} \right) + \left( {m + 1} \right)i$ là số thuần ảo.
Số phức có dạng $0+bi$ được gọi là số thuần ảo.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phức $\left( {{m^2} - 1} \right) + \left( {m + 1} \right)i$ là số ảo $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{m^2} - 1 = 0}\\\n{m + 1 \ne 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = \pm 1}\\\n{m \ne - 1}\n\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.} \right.$.
Tính $P = {\left| {1 + \sqrt 3 i} \right|^{2018}} + {\left| {1 - \sqrt 3 i} \right|^{2018}}$
$z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $P = {\left| {1 + \sqrt 3 i} \right|^{2018}} + {\left| {1 - \sqrt 3 i} \right|^{2018}} = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^{2018}} + {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^{2018}} = {2^{2018}} + {2^{2018}} = {2^{2019}}$
Cho số phức liên hợp của số phức $z$ có dạng $\overline z = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}}$. Tìm số phức $z$
Triển khai hằng đẳng thức và rút gọn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overline z = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = \frac{{ - 8}}{{1 - i}} = - 4 - 4i \Rightarrow z = - 4 + 4i$
Cho số phức $z = 3 + i$. Tính $\left| {\overline z } \right|$
Tính chất $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} $
Tìm các số thực $x, y$ biết $\left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i = \left( {x - 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i$
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i = \left( {x - 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{2x + y = x - 2y + 3}\\\n{2y - x = y + 2x + 1}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x + 3y = 3}\\\n{ - 3x + y = 1}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 0}\\\n{y = 1}\n\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Tìm mệnh sai trong các mệnh đề sau:
Xét từng phương án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số phức $z = a + bi$ có số phức đối là $z=-a-bi$
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 4 - 8i} \right| = 2\sqrt 5 $ là đường tròn có phương trình:
Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)$
Theo đề ta có: $\left| {z + 4 - 8i} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + yi + 4 - 8i} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 20$
Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\left| {z - 1} \right| = \left| {z - 2 + 3i} \right|$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là:
Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {z - 1} \right| = \left| {z - 2 + 3i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow x - 3y - 6 = 0$
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng có phương trình $x - 3y - 6 = 0$
Tìm số phức liên hợp của số phức $z = {\left( {3 - 4i} \right)^2}$
Triển khai hằng đẳng thức và rút gọn.$(i^{2}=-1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $z = {\left( {3 - 4i} \right)^2} = - 7 - 24i \Rightarrow \bar z = - 7 + 24i$
Cho hai số phức ${z_1} = \left( {m + 2} \right) - 24i$ và ${z_2} = - 3 - \left( {{m^2} - 1} \right)i$. Tìm giá trị của tham số $m$ để ${z_1} = {z_2}$
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để ${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 2 = - 3}\\ { - \left( {{m^2} - 1} \right) = - 24} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 5}\\ {m = \pm 5} \end{array} \Leftrightarrow m = -5} \right.} \right.$
Tìm số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ $(a, b \in \mathbb{R})$, biết $7a + 4 + 2bi = - 10 + \left( {6 - 5a} \right)i$
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $7a + 4 + 2bi = - 10 + \left( {6 - 5a} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n7a + 4 = - 10\\\n2b = 6 - 5a\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 2\\\nb = 8\n\end{array} \right.$
Vậy số phức $z=-2+8i$. Vậy $\overline z = - 2 - 8i$
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa $\left| {z + 1 - 2i} \right| = 3$ là:
Số phức $z = a + bi$ có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có: $\left| {z + 1 - 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z$ là đường tròn tâm $I (-1; 2)$ và có bán kính $r=3$
Cho số thực $x, y$ thỏa $2x + y + \left( {2y - x} \right)i = x - 2y + 3 + \left( {y + 2x + 1} \right)i$. Khi đó giá trị của $M = {x^2} + 4xy - {y^2}$ là
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $2x + y + \left( {2y - x} \right)i = x - 2y + 3 + \left( {y + 2x + 1} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2x + y = x - 2y + 3\\\n2y - x = y + 2x + 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx + 3y = 3\\ - 3x + y = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 0\\\ny = 1\n\end{array} \right.$
Vậy $M = {0^2} + 4.0.1 - {\left( 1 \right)^2} = - 1$
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $\left( {2x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i = 1 + 2i$. Giá trị của biểu thức ${x^2} + 2xy + {y^2}$ bằng:
Hai số phức $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ và $b=d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( {2x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i = 1 + 2i$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2x - 1 = 1\\\ny + 1 = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = 1\n\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {1^2} + 2 + {1^2} = 4$